نقطۀ \((x,y)\) را به عنوان نقطه ای بر روی نمودار خط \(2x + 4y = 5\) در نظر بگیرید. فرض کنید فاصلۀ بین نقطۀ \((x,y)\) تا مبدأ مختصات، \((0,0)\)، برابر با \(L\) باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(x\) بنویسید.

پاسخ

برای حل این مسئله از فرمول مسافت استفاده می کنیم. توجه داشته باشید که خود فرمول مسافت از قضیۀ فیثاغورث منتج شده است. فرمول مسافت نیاز به مختصات دو نقطه آغازین و پایانی خط دارد. در اینجا این دو نقطه عبارت از \((x,y)\) و \((0,0)\) می باشند. مختصات این دو نقطه را در فرمول مسافت جایگزین می کنیم.
$$
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
L = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}\\
L = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
از آنجا که مسئله از ما \(L\) را به شکل تابعی از \(x\) می خواهد، در فرمول بالا باید مقدار \(y\) را با معادل آن به لحاظ \(x\) جایگزین کنیم. این کار را انجام می دهیم.
$$
2x + 4y = 5\\
4y = 5 - 2x\\
y = \frac{5}{4} - \frac{2}{4}x\\
y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}
$$
$$
L = \sqrt{x^2 + y^2}\\
L = \sqrt{x^2 + (-\frac{1}{2}x + \frac{5}{4})^2}\\
L = \sqrt{x^2 + ((-\frac{1}{2}x)^2 + 2(-\frac{1}{2}x)(\frac{5}{4}) + (\frac{5}{4})^2)}\\
L = \sqrt{x^2 + ( \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{25}{16} )}\\
L = \sqrt{x^2 + \frac{1}{4} x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{25}{16}}\\
L = \sqrt{ \frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{25}{16}}\\
L = \sqrt{ \frac{ 20x^2 - 20x + 25 }{16} }\\
L = \frac{\sqrt{20x^2 - 20x + 25}}{4}
$$
فاصلۀ بین نقطۀ \((x,y)\) که بر روی خط \(2x + 4y = 5\) قرار دارد، تا مبدأ مختصات، به شکل تابعی از \(x\) اینگونه خواهد بود:
$$
L(x) = \frac{\sqrt{20x^2 - 20x + 25}}{4}
$$