طول یال (edge) یک مکعب را به شکل تابعی از قطر آن مکعب، \(d\)، بیان کنید. سپس مساحت رویه و حجم آن مکعب را به شکل تابعی از طول قطر آن بیان کنید.

پاسخ

قبل از این که سراغ حل این مسئله برویم، ابتدا به قسمت های مختلف یک مکعب همچون رأس (vertex)، یال (edge) و وجه (face) می پردازیم. به تصویر زیر توجه کنید. در تصویر زیر یال، وجه و رأس مشخص است. یک مکعب \(12\) یال، \(6\) وجه و \(8\) رأس دارد.

تصویر زیر قطر مکعب را به شما نشان می دهد. قطر مکعب دو رأس آن را به شکل زیر به یکدیگر وصل می کند. در تصویر زیر \(D\) قطر مکعب و \(d\) قطر وجه می باشد. دقت کنید که این دو را با یکدیگر اشتباه نگیرید. در این مسئله قطر مکعب (در اینجا \(D\)) پارامتر اصلی می باشد.

حالا به سراغ حل مسئله می رویم. برای روشن تر شدن ماجرا، تصویری از مسئله را ترسیم می کنیم. در تصویر زیر \(d\) قطر مکعب و \(d_1\) قطر وجه مکعب می باشد.

ابتدا قضیه فیثاغورث را بر روی مثلث قائم الزاویۀ \(\triangle{AHD}\) که در یکی از وجه های مکعب قرار دارد، به کار می گیریم:
$$
d_1 = x^2 + x^2\\
d_1 = 2x^2
$$
سپس قضیه فیثاغورث را بر روی مثلث قائم الزاویۀ \(\triangle{EHD}\) که قطر مکعب \((d)\) وتر آن می باشد، به کار می گیریم:
$$
d^2 = (d_1)^2 + x^2\\
d^2 = 2x^2 + x^2\\
d^2 = 3x^2\\
\frac{d^2}{3} = x^2\\
\sqrt{\frac{d^2}{3} } = x\\
\frac{d}{\sqrt{3}} = x
$$
یال یک مکعب به شکل تابعی از قطر آن، \(d\)، این گونه تعریف می شود:
$$
f(d) = \frac{d}{\sqrt{3}}
$$
مساحت رویۀ یک مکعب با فرمول \(A= 6a^2\) به دست می آید. در این فرمول \(a\) یال مکعب می باشد. در نتیجه خواهیم داشت:
$$
A = 6a^2\\
A = 6(\frac{d}{\sqrt{3}})^2\\
A = 6(\frac{d^2}{3})\\
A = 2d^2
$$
مساحت رویه یک مکعب به شکل تابعی از قطر آن، \(d\)، این گونه تعریف می شود:
$$
f(d) = 2d^2
$$
حجم مکعب با فرمول \(V=a^3\) به دست می آید. در این فرمول \(a\) یال مکعب می باشد. پس خواهیم داشت:
$$
V = a^3\\
V = (\frac{d}{\sqrt{3}})^3\\
V = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}
$$
حجم یک مکعب به شکل تابعی از قطر آن، \(d\)، این گونه تعریف می شود:
$$
V(d) = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}
$$