نقطۀ \(P\) در ربع صفحۀ اول و بر روی نمودار تابع \(f(x) = \sqrt{x}\) قرار دارد. مختصات \(P\) را به شکل تابعی از شیب خطی که \(P\) را به مبدأ مختصات متصل می کند بیان کنید.

پاسخ

شکل زیر تابع \(f(x)=\sqrt{x}\) را با رنگ قرمز نشان می دهد. همچنین ما نقطۀ فرضی \(P\) را که بر روی این تابع قرار دارد، نقطۀ \((4,2)\) در نظر گرفته ایم. از این نقطه خطی را به مبدأ مختصات، \((0,0)\)، متصل کرده ایم.
با توجه به اینکه این مسئله مختصات نقطۀ \(P\) را به شکل تابعی از شیب این خط می خواهد، به این شکل عمل می کنیم. مختصات نقطۀ \(P\) در حالت عمومی برابر است با \((x,\sqrt{x})\). از طرفی می دانیم که شیب خط با فرمول \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) به دست می آید. ابتدا شیب این خط را محاسبه می کنیم و سپس آن را برای به دست آوردن \(x\) حل می کنیم:
$$
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\
m = \frac{\sqrt{x} - 0 }{x - 0}\\
m = \frac{\sqrt{x}}{x}
$$
هم اکنون شیب این خط را داریم، آن را برای بدست آوردن \(x\) حل می کنیم:
$$
m = \frac{\sqrt{x}}{x}\\
mx = \sqrt{x}\\
x = \frac{\sqrt{x}}{m}\\
x^2 = (\frac{\sqrt{x}}{m})^2\\
x^2 = \frac{x}{m^2}\\
(\frac{1}{x}) \cdot x^2 =(\frac{1}{x}) \cdot \frac{x}{m^2}\\
x = \frac{1}{m^2}
$$
حالا که مقدار \(x\) را به لحاظ شیب خط داریم، مختصات نقطۀ \(P\) را اینگونه می نویسیم:
$$
P(x,\sqrt{x})\\
P(\frac{1}{m^2}, \sqrt{\frac{1}{m^2}})\\
P(\frac{1}{m^2}, \frac{1}{m})
$$