خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
عبارات جبری (Algebraic Expressions)
در فصل 5، عبارات حسابی (arithmetic expressions) را به شما معرفی کردم: رشته ای از اعداد و عملگرها که می توانند ارزیابی گردند یا در یک سمت یک معادله قرار بگیرند. برای مثال:
در این فصل، نوع دیگری از عبارات ریاضی (mathematical expression) را به شما معرفی می کنم: عبارت جبری (algebraic expression). یک عبارت جبری هر رشته ای از نمادهای ریاضی است که می تواند در یک سمت یک معادله قرار بگیرد و حداقل یک متغیر (variable) در آن وجود داشته باشد.
در اینجا چند مثال از عبارات جبری داریم:
در این بخش، به شما نشان می دهم چگونه با عبارات جبری کار کنید. در ابتدا، چگونگی ارزیابی یک عبارت جبری با جایگزین کردن مقادیر متغیرهای آن را به شما شرح می دهم. سپس، چگونگی شکستن یک عبارت جبری به یک یا چند جمله (term)، و چگونگی شناسایی بخش ضریب (coefficient) و بخش متغیر در هر جمله را به شما می گویم.
در فصل 5، چگونگی ارزیابی یک عبارت حسابی را به شما گفتم. به طور خلاصه، ارزیابی به معنای پیدا کردن مقدار آن عبارت در شکل یک عدد واحد می باشد.
دانستن چگونگی ارزیابی عبارات حسابی برای ارزیابی عبارت جبری مفید است. برای مثال، فرض کنید می خواهید عبارت زیر را ارزیابی کنید:
توجه کنید که این عبارت شامل متغیر x می باشد که نامعلوم است، بنابراین مقدار کل عبارت نیز نامعلوم خواهد بود.
یک عبارت جبری می تواند به هر تعداد متغیر داشته باشد، اما معمولاً با عباراتی که بیش از سه متغیر داشته باشند، سر و کار نخواهید داشت. شما می توانید هر حرف الفبایی را به عنوان یک متغیر مورد استفاده قرار دهید، اما حروف x، y، و z در این زمینه پرکاربردترین ها هستند.
در مورد قبلی فرض کنید که x برابر 2 باشد. برای ارزیابی عبارت، در هر جای عبارت که x وجود داشته باشد، آن را با 2 جایگزین کنید:
بعد از اینکه جایگزینی را انجام دادید، عبارت جبری شما تبدیل به یک عبارت حسابی می شود، بنابراین می توانید برای ارزیابی عبارت محاسبات خود را تکمیل کنید:
بنابراین، در صورتیکه باشد، خواهیم داشت:
حالا فرض کنید می خواهید عبارت زیر را در حالتی که x برابر 4 باشد، ارزیابی کنید:
این بار، اولین مرحله اینست که در هر جایی از عبارت که متغیر x را می بینید، آن را با 4 جایگزین کنید:
حالا بر اساس ترتیب عملیات (order of operations) که در فصل 5 توضیح دادیم، عبارت را ارزیابی کنید. طبق ترتیب عملیات ابتدا باید توان ها را محاسبه کنید:
حالا با ضرب ها ادامه دهید و به ترتیب از چپ به راست آنها را ارزیابی کنید:
سپس تفریقها را (دوباره از چپ به راست) ارزیابی کنید:
بنابراین اگر 4 = x باشد، خواهیم داشت:
هنگامی که از جایگزینی استفاده می کنید، محدود به عبارتهایی که فقط یک متغیر دارند، نیستید. تا زمانی که مقدار تمامی متغیرهای بکار رفته در عبارت را بدانید، می توانید عبارتهای جبری دارای هر تعداد متغیر را ارزیابی نمایید. برای مثال، فرض کنید می خواهید این عبارت را ارزیابی نمایید:
برای ارزیابی این عبارت، مقادیر هر سه متغیر آن را نیاز دارید:
اولین مرحله اینست که مقدار معادل هر کدام از این سه متغیر را در کل عبارت جایگزین متغیرها نمایید:
حالا با استفاده از قوانین ترتیب اولویتها ایتدا توان ها را ارزیابی نمایید:
حالا ضرب ها را از سمت چپ به راست ارزیابی کنید:
حالا فقط جمع ها و تفریق ها باقی مانده اند. آنها را از سمت چپ به راست، ارزیابی کنید. اگر در مورد چگونگی جمع و تفریق اعداد منفی ابهامی دارید، فصل 4 را ببینید:
بنابراین با توجه به مقادیر تعیین شده برای متغیرهای x، y، و z خواهیم داشت:
در اینجا چند مثال داریم:
مهم نیست یک عبارت جبری چقدر پیچیده باشد، شما همیشه می توانید آن را به یک یا تعداد ییشتری جمله بشکنید.
هنگامیکه یک جمله شامل متغیری باشد، یک جمله جبری (algebraic term) نامیده می شود. هنگامی که متغیری نداشته باشد، ثابت (constant) نامیده می شود. برای مثال، عبارت زیر را ببینید:
سه جمله اول، جملات جبری هستند، و آخرین جمله یک ثابت می باشد. همانطور که می بینید، در جبر، ثابت (constant)، صرفاً یک نام فانتزی برای اعداد می باشد.
جملات (Terms) واقعاً مفید هستند، چرا که می توانید قوانینی را برای انتقال آنها، ترکیب آنها، و انجام چهار عمل اصلی بر روی آنها، بکار ببرید. تمامی این مهارتها برای حل کردن معادلات، که در فصل بعد به آن می پردازم، مهم می باشند. اما در حال حاضر، این بخش اندکی در مورد جملات و برخی از ویژگی های آنها توضیح می دهد.
بعد از اینکه چگونگی جدا کردن یک عبارت جبری به جملات را دانستید، می توانید یک گام جلوتر بروید و جملات را در هر ترتیبی که می خواهید، بازچینش کنید. هر جمله به عنوان یک واحد، تغییر مکان می دهد.
برای مثال عبارت زیر را در نظر بگیرید:
بازچینش جملات با این روش، بر روی مقدار عبارت تاثیری نمی گذارد، چرا که جمع یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد - یعنی، شما می توانید چینش چیزهایی را که با هم جمع می زنید تغییر بدهید و نتیجه تغییری نکند. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ویژگی جابجایی پذیری، فصل 4 را ببینید.)
برای مثال، فرض کنید x برابر 3 باشد.
بازچینش عبارتها با این روش، در ادامۀ این فصل، هنگامی که عبارتهای جبری را ساده می کنید، مفید خواهد بود. به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید این عبارت را دارید:
شما می توانید این عبارت را در روش های مختلفی بازچینش کنید:
از آنجا که جمله 4x علامتی ندارد، مثبت می باشد، پس اگر لازم باشد در هنگام بازچینش می توانید در ابتدای آن یک علامت بعلاوه قرار دهید.
برای مثال، فرض کنید:
هر جمله در یک عبارت جبری یک ضریب دارد. ضریب (coefficient) بخش علامت دار عددی یک جمله در یک عبارت جبری می باشد - یعنی، عدد و علامت (+ یا -) که به آن جمله متصل شده است. برای مثال، عبارت جبری زیر را در نظر بگیرید:
جدول زیر چهار جمله موجود در این عبارت را همراه با ضریب و متغیر هر جمله نشان می دهد:
توجه کنید که علامت (sign) مرتبط شده با جمله، بخشی از ضریب می باشد.
ضمناً، اگر ضریب هر جمله جبری برابر با 0 باشد، آن جمله برابر با 0 خواهد بود و در این حالت مهم نیست بخش متغیری آن چه باشد:
در مقابل، بخش متغیری یک جمله، هر چیزی به غیر از ضریب می باشد.
به هر دو جمله جبری که بخش متغیری یکسانی داشته باشند، جملات مشابه گفته می شود، بعنی هم حروف آنها و هم توان آنها دقیقاً با یکدیگر مطابقت داشته باشند. در اینجا چندین مثال داریم:
همانطور که می بینید، در هر مثال، بخش متغیر در هر سه جمله مشابه، یکسان است. تنها ضریب تغییر می کند، و ضریب نیز می تواند هر عدد حقیقی (real number) باشد: مثبت یا منفی، عدد صحیح، کسر، عدد اعشاری، و یا حتی یک عدد گنگ (irrational number) مانند عدد پی π. (برای اطلاعات بیشتر در مورد اعداد حقیقی، فصل 25 را ببینید.)
در این بخش، چگونگی به کار بردن چهار عمل اصلی بر روی عبارات جبری را به شما می گویم. در حال حاضر، این آموزشها را مانند ابزارهایی جمع آوری کنید تا در فصل 22 که به حل کردن معادلات جبری می پردازیم، از این آموزشها به صورت عملی استفاده خواهیم کرد.
برای مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:
همانطور که می بینید، هنگامی که بخش متغیری دو جمله جبری با هم برابر باشند، شما با جمع کردن ضرایب آنها می توانید آن جملات را لا هم جمع بزنید:
در اینجا چندین مورد داریم که متغیرها یا توان متغیرها، متفاوت می باشند:
در این موارد، شما نمی توانید عملیات جمع را انجام بدهید. شما با وضعیتی مشابه این وضعیت مواجه شده اید که بخواهید سیب ها را با پرتقال ها جمع بزنید:
برای مثال، فرض کنید که عبارت زیر را دارید:
حالا سورپرایز بزرگ اینجا اینست که، می توانستید به سادگی فقط ضریب ها را از هم تفریق کنید:
در اینجا مثال دیگری داریم:
دوباره، مادامیکه بدانید چگونه باید با اعداد منفی کار کنید، هیچ مشکلی در میان نخواهد بود (اگر یادتان رفته است، فصل 4 را ببینید). فقط اختلاف بین دو ضریب را محاسبه کنید:
در این مورد، بیاد بیاورید که:
برای مثال، شما نمی توانید هیچکدام از موارد زیر را تفریق کنید:
مشابه جمع، شما نمی توانید متغیرهای مختلف را از یکدیگر تفریق کنید. به این مسأله اینطور فکر کنید که می خواهید 7 دلار (dollars) را منهای 4 پزو (pesos) کنید. از آنجا که در این مورد واحدها متفاوت می باشند (dollars و pesos)، امکان تفریق وجود ندارد. (برای مشاهده اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی کار با واحدها، فصل 4 را ببینید.)
برای مثال، فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:
حالا فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:
به خاطر بیاورید که x2 یک خلاصه نویسی برای xx می باشد، بنابراین می توانید این پاسخ را به طرز کارآمدتری بنویسید:
در اینجا مثال دیگری داریم. هر سه ضریب را در یکدیگر ضرب کنید و متغیرها را در کنار هم گردآوری کنید:
همانطور که می بینید، توان 3 که به متغیر x مرتبط شده است، در واقع تعداد x های موجود در مسأله می باشد. این جریان در مورد توان 2 که به y نسبت داده شده است نیز صادق است.
برای مثال:
در این مثال، من توان x ها را با یکدیگر جمع نموده ام، تا به توان x در پاسخ مسأله برسم:
در عبارات جبری رایج است که به جای استفاده از علامت تقسیم (÷)، تقسیم ها را به صورت کسر نشان می دهند. بنابراین، تقسیم جملات جبری، براستی شبیه ساده کردن کسرها می باشد. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ساده کردن کسرها، فصل 9 را ببینید.)
برای تقسیم یک جمله جبری بر جمله ای دیگر، این مراحل را دنبال کنید:
به عنوان مثالی دیگر، تقسیم زیر را در نظر بگیرید:
ابتدا ضریب ها را ساده کنید. توجه داشته باشید از آنجایی که هر دو ضریب منفی هستند، شما می توانید هر دو علامت منفی را در صورت و مخرج کسر خط بزنید:
حالا می توانید شروع به خط زدن متغیرها کنید. من این کار را در دو مرحله به شکل زیر انجام داده ام:
در این مرحله، فقط هر تکرار از متغیری را که هم در صورت و هم در مخرج کسر ظاهر شده باشد را خط بزنید:
در این فصل، نوع دیگری از عبارات ریاضی (mathematical expression) را به شما معرفی می کنم: عبارت جبری (algebraic expression). یک عبارت جبری هر رشته ای از نمادهای ریاضی است که می تواند در یک سمت یک معادله قرار بگیرد و حداقل یک متغیر (variable) در آن وجود داشته باشد.
در اینجا چند مثال از عبارات جبری داریم:
یادتان باشد: همانطور که می بینید، تفاوت بین عبارات جبری و عبارات حسابی ، به سادگی فقط در اینست که در یک عبارت جبری، حداقل یک متغیر وجود دارد.
در این بخش، به شما نشان می دهم چگونه با عبارات جبری کار کنید. در ابتدا، چگونگی ارزیابی یک عبارت جبری با جایگزین کردن مقادیر متغیرهای آن را به شما شرح می دهم. سپس، چگونگی شکستن یک عبارت جبری به یک یا چند جمله (term)، و چگونگی شناسایی بخش ضریب (coefficient) و بخش متغیر در هر جمله را به شما می گویم.
ارزیابی عبارات جبری
یادتان باشد: برای ارزیابی یک عبارت جبری، نیاز دارید تا مقدار عددی هر متغیر را بدانید. به ازاء هر متغیر در آن عبارت، عددی را که نمایانگر آن متغیر می باشد جایگزین متغیر نمایید، و سپس عبارت را ارزیابی (evaluate) کنید.
در فصل 5، چگونگی ارزیابی یک عبارت حسابی را به شما گفتم. به طور خلاصه، ارزیابی به معنای پیدا کردن مقدار آن عبارت در شکل یک عدد واحد می باشد.
دانستن چگونگی ارزیابی عبارات حسابی برای ارزیابی عبارت جبری مفید است. برای مثال، فرض کنید می خواهید عبارت زیر را ارزیابی کنید:
توجه کنید که این عبارت شامل متغیر x می باشد که نامعلوم است، بنابراین مقدار کل عبارت نیز نامعلوم خواهد بود.
یک عبارت جبری می تواند به هر تعداد متغیر داشته باشد، اما معمولاً با عباراتی که بیش از سه متغیر داشته باشند، سر و کار نخواهید داشت. شما می توانید هر حرف الفبایی را به عنوان یک متغیر مورد استفاده قرار دهید، اما حروف x، y، و z در این زمینه پرکاربردترین ها هستند.
در مورد قبلی فرض کنید که x برابر 2 باشد. برای ارزیابی عبارت، در هر جای عبارت که x وجود داشته باشد، آن را با 2 جایگزین کنید:
بعد از اینکه جایگزینی را انجام دادید، عبارت جبری شما تبدیل به یک عبارت حسابی می شود، بنابراین می توانید برای ارزیابی عبارت محاسبات خود را تکمیل کنید:
بنابراین، در صورتیکه باشد، خواهیم داشت:
حالا فرض کنید می خواهید عبارت زیر را در حالتی که x برابر 4 باشد، ارزیابی کنید:
این بار، اولین مرحله اینست که در هر جایی از عبارت که متغیر x را می بینید، آن را با 4 جایگزین کنید:
حالا بر اساس ترتیب عملیات (order of operations) که در فصل 5 توضیح دادیم، عبارت را ارزیابی کنید. طبق ترتیب عملیات ابتدا باید توان ها را محاسبه کنید:
حالا با ضرب ها ادامه دهید و به ترتیب از چپ به راست آنها را ارزیابی کنید:
سپس تفریقها را (دوباره از چپ به راست) ارزیابی کنید:
بنابراین اگر 4 = x باشد، خواهیم داشت:
هنگامی که از جایگزینی استفاده می کنید، محدود به عبارتهایی که فقط یک متغیر دارند، نیستید. تا زمانی که مقدار تمامی متغیرهای بکار رفته در عبارت را بدانید، می توانید عبارتهای جبری دارای هر تعداد متغیر را ارزیابی نمایید. برای مثال، فرض کنید می خواهید این عبارت را ارزیابی نمایید:
برای ارزیابی این عبارت، مقادیر هر سه متغیر آن را نیاز دارید:
اولین مرحله اینست که مقدار معادل هر کدام از این سه متغیر را در کل عبارت جایگزین متغیرها نمایید:
حالا با استفاده از قوانین ترتیب اولویتها ایتدا توان ها را ارزیابی نمایید:
حالا ضرب ها را از سمت چپ به راست ارزیابی کنید:
حالا فقط جمع ها و تفریق ها باقی مانده اند. آنها را از سمت چپ به راست، ارزیابی کنید. اگر در مورد چگونگی جمع و تفریق اعداد منفی ابهامی دارید، فصل 4 را ببینید:
بنابراین با توجه به مقادیر تعیین شده برای متغیرهای x، y، و z خواهیم داشت:
جملات جبری (algebraic terms)
یادتان باشد: یک جمله (term) در یک عبارت جبری هر تکه از مجموعه نمادها است که از بقیه عبارات با علامت جمع یا تفریق تفکیک شده باشد. همچنانکه تعداد جملات موجود در عبارات بیشتر و بیشتر می شود، عبارتهای جبری پیچیده تر می گردند.
در اینجا چند مثال داریم:
Expression: عبارت
Number of Terms: تعداد جملات
Terms: جملات
Number of Terms: تعداد جملات
Terms: جملات
مهم نیست یک عبارت جبری چقدر پیچیده باشد، شما همیشه می توانید آن را به یک یا تعداد ییشتری جمله بشکنید.
یادتان باشد: هنگامیکه یک عبارت جبری را به جملات تفکیک می کنید، علامت مثبت یا منفی که بلافاصله قبل از جمله می آید را به ابتدای آن جمله اضافه کنید.
هنگامیکه یک جمله شامل متغیری باشد، یک جمله جبری (algebraic term) نامیده می شود. هنگامی که متغیری نداشته باشد، ثابت (constant) نامیده می شود. برای مثال، عبارت زیر را ببینید:
سه جمله اول، جملات جبری هستند، و آخرین جمله یک ثابت می باشد. همانطور که می بینید، در جبر، ثابت (constant)، صرفاً یک نام فانتزی برای اعداد می باشد.
جملات (Terms) واقعاً مفید هستند، چرا که می توانید قوانینی را برای انتقال آنها، ترکیب آنها، و انجام چهار عمل اصلی بر روی آنها، بکار ببرید. تمامی این مهارتها برای حل کردن معادلات، که در فصل بعد به آن می پردازم، مهم می باشند. اما در حال حاضر، این بخش اندکی در مورد جملات و برخی از ویژگی های آنها توضیح می دهد.
تغییر چینش جمله ها
بعد از اینکه چگونگی جدا کردن یک عبارت جبری به جملات را دانستید، می توانید یک گام جلوتر بروید و جملات را در هر ترتیبی که می خواهید، بازچینش کنید. هر جمله به عنوان یک واحد، تغییر مکان می دهد.
برای مثال عبارت زیر را در نظر بگیرید:
–5x + 2شما می توانید دو جملۀ موجود در این عبارت را، بدون اینکه مقدار آن تغییر کند، بازچینش کنید. توجه داشته باشید که علامت هر جمله با همان جمله باقی خواهد ماند، اگرچه رسم است که علامت مثبت ابتدای عبارت را از قلم می اندازند:
بازچینش جملات با این روش، بر روی مقدار عبارت تاثیری نمی گذارد، چرا که جمع یک عملیات جابجایی پذیر (commutative) می باشد - یعنی، شما می توانید چینش چیزهایی را که با هم جمع می زنید تغییر بدهید و نتیجه تغییری نکند. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ویژگی جابجایی پذیری، فصل 4 را ببینید.)
برای مثال، فرض کنید x برابر 3 باشد.
x = 3در این حالت، عبارت اصلی و مقادیر بازچینش شدۀ آن به شکل زیر، ارزیابی می شوند:
بازچینش عبارتها با این روش، در ادامۀ این فصل، هنگامی که عبارتهای جبری را ساده می کنید، مفید خواهد بود. به عنوان مثالی دیگر، فرض کنید این عبارت را دارید:
شما می توانید این عبارت را در روش های مختلفی بازچینش کنید:
از آنجا که جمله 4x علامتی ندارد، مثبت می باشد، پس اگر لازم باشد در هنگام بازچینش می توانید در ابتدای آن یک علامت بعلاوه قرار دهید.
یادتان باشد: مادامیکه علامت هر جمله با آن جمله باقی بماند، بازچینش جملات در یک عبارت بر روی مقدار آن تاثیری نخواهد گذاشت.
برای مثال، فرض کنید:
x = 2در اینجا چگونگی ارزیابی عبارت اصلی و دو عبارت بازچینش شده را می بینید:
y = 3
شناسایی ضریب (coefficient) و متغیر (variable)
هر جمله در یک عبارت جبری یک ضریب دارد. ضریب (coefficient) بخش علامت دار عددی یک جمله در یک عبارت جبری می باشد - یعنی، عدد و علامت (+ یا -) که به آن جمله متصل شده است. برای مثال، عبارت جبری زیر را در نظر بگیرید:
جدول زیر چهار جمله موجود در این عبارت را همراه با ضریب و متغیر هر جمله نشان می دهد:
توجه کنید که علامت (sign) مرتبط شده با جمله، بخشی از ضریب می باشد.
یادتان باشد: هنگامی که یک جمله در ظاهر ضریبی نداشته باشد، در واقع ضریب آن 1 می باشد. بنابراین ضریب x2 برابر با 1 می باشد، و ضریب x- برابر با 1- می باشد. و اگر یک جمله یک ثابت (constant) باشد، خود آن عدد همراه با علامت متصل به آن، ضریب می باشد. بنابراین ضریب جملۀ 7- برابر با 7- می باشد.
ضمناً، اگر ضریب هر جمله جبری برابر با 0 باشد، آن جمله برابر با 0 خواهد بود و در این حالت مهم نیست بخش متغیری آن چه باشد:
در مقابل، بخش متغیری یک جمله، هر چیزی به غیر از ضریب می باشد.
شناسایی جملات مشابه (similar terms)
به هر دو جمله جبری که بخش متغیری یکسانی داشته باشند، جملات مشابه گفته می شود، بعنی هم حروف آنها و هم توان آنها دقیقاً با یکدیگر مطابقت داشته باشند. در اینجا چندین مثال داریم:
Variable Part: بخش متغیر
Examples of Similar Terms: مثالهایی از جملات مشابه
Examples of Similar Terms: مثالهایی از جملات مشابه
همانطور که می بینید، در هر مثال، بخش متغیر در هر سه جمله مشابه، یکسان است. تنها ضریب تغییر می کند، و ضریب نیز می تواند هر عدد حقیقی (real number) باشد: مثبت یا منفی، عدد صحیح، کسر، عدد اعشاری، و یا حتی یک عدد گنگ (irrational number) مانند عدد پی π. (برای اطلاعات بیشتر در مورد اعداد حقیقی، فصل 25 را ببینید.)
جملات جبری و چهار عمل اصلی
در این بخش، چگونگی به کار بردن چهار عمل اصلی بر روی عبارات جبری را به شما می گویم. در حال حاضر، این آموزشها را مانند ابزارهایی جمع آوری کنید تا در فصل 22 که به حل کردن معادلات جبری می پردازیم، از این آموزشها به صورت عملی استفاده خواهیم کرد.
جمع جملات جبری (Adding terms)
یادتان باشد: جملات مشابه را با جمع کردن ضریب های آنها و ثابت نگه داشتن بخش متغیری آنها، با یکدیگر جمع بزنید.
برای مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:
2x + 3xیادتان باشد که 2x فقط یک خلاصه نویسی برای x + x می باشد، و 3x نیز به سادگی یعنی x + x + x . پس هنگامی که آنها را با هم جمع می کنید، شما در واقع کار زیر را انجام می دهید:
همانطور که می بینید، هنگامی که بخش متغیری دو جمله جبری با هم برابر باشند، شما با جمع کردن ضرایب آنها می توانید آن جملات را لا هم جمع بزنید:
2x + 3x = (2 + 3)xایده کلی در اینجا تقریباً شبیه اینست که بخواهیم 2 سیب (apples) را با 3 سیب جمع بزنیم:
2 apples + 3 apples = 5 apples
هشدار: شما نمی توانید جملات جبری غیر مشابه را با یکدیگر جمع بزنید.
در اینجا چندین مورد داریم که متغیرها یا توان متغیرها، متفاوت می باشند:
در این موارد، شما نمی توانید عملیات جمع را انجام بدهید. شما با وضعیتی مشابه این وضعیت مواجه شده اید که بخواهید سیب ها را با پرتقال ها جمع بزنید:
2 apples + 3 orangesاز آنجا که واحدها (apples و oranges) متفاوت هستند، شما نمی توانید این مساله را حل کنید. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی کار با واحدها، فصل 4 را ببینید.)
تفریق جملات جبری (Subtracting terms)
یادتان باشد: تفریق به همان شکل جمع کار می کند. جملات مشابه را با تفریق کردن ضرایب آنها از یکدیگر، تفریق نمایید و بخش متغیری جملات را بدون تغییر نگهدارید.
برای مثال، فرض کنید که عبارت زیر را دارید:
3x – xبیاد بیاورید که 3x به سادگی برابر است با x + x + x . بنابراین در این تفریق خواهیم داشت:
حالا سورپرایز بزرگ اینجا اینست که، می توانستید به سادگی فقط ضریب ها را از هم تفریق کنید:
3x – x = (3 – 1)xاین ایده تقریباً شبیه اینست که بگوییم:
$3 – $1 = $2
در اینجا مثال دیگری داریم:
دوباره، مادامیکه بدانید چگونه باید با اعداد منفی کار کنید، هیچ مشکلی در میان نخواهد بود (اگر یادتان رفته است، فصل 4 را ببینید). فقط اختلاف بین دو ضریب را محاسبه کنید:
در این مورد، بیاد بیاورید که:
$2 – $5 = –$3
هشدار: شما نمی توانید جملات جبری غیرمشابه را تفریق کنید.
برای مثال، شما نمی توانید هیچکدام از موارد زیر را تفریق کنید:
مشابه جمع، شما نمی توانید متغیرهای مختلف را از یکدیگر تفریق کنید. به این مسأله اینطور فکر کنید که می خواهید 7 دلار (dollars) را منهای 4 پزو (pesos) کنید. از آنجا که در این مورد واحدها متفاوت می باشند (dollars و pesos)، امکان تفریق وجود ندارد. (برای مشاهده اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی کار با واحدها، فصل 4 را ببینید.)
ضرب جملات جبری (Multiplying terms)
یادتان باشد: برخلاف جمع و تفریق، شما می توانید جملات جبری غیرمشابه را در یکدیگر ضرب کنید. برای ضرب هر دو جمله جبری، ابتدا ضرایب آنها را در یکدیگر ضرب کنید و سپس تمام متغیرهای موجود در آن دو جمله جبری را با یکدیگر ترکیب کنید، یعنی تمامی متغیرهای موجود در هر دو جمله را به یک جمله واحد منتقل کنید.
برای مثال، فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:
5x(3y)برای بدست آوردن ضریب 5 را در 3 ضرب کنید. برای بدست آوردن بخش جبری، متغیرهای x و y را با یکدیگر ترکیب کنید:
حالا فرض کنید می خواهید ضرب زیر را انجام بدهید:
2x(7x)دوباره، ضریب ها را در یکدیگر ضرب کنید و متغیرها را در یک جمله کنار هم گردآوری کنید:
به خاطر بیاورید که x2 یک خلاصه نویسی برای xx می باشد، بنابراین می توانید این پاسخ را به طرز کارآمدتری بنویسید:
در اینجا مثال دیگری داریم. هر سه ضریب را در یکدیگر ضرب کنید و متغیرها را در کنار هم گردآوری کنید:
همانطور که می بینید، توان 3 که به متغیر x مرتبط شده است، در واقع تعداد x های موجود در مسأله می باشد. این جریان در مورد توان 2 که به y نسبت داده شده است نیز صادق است.
نکته: یک روش سریع برای ضرب متغیرها اینست که توانها را با یکدیگر جمع بزنید.
برای مثال:
در این مثال، من توان x ها را با یکدیگر جمع نموده ام، تا به توان x در پاسخ مسأله برسم:
(4 + 2 + 6 = 12)به طرز مشابهی، توانهای y ها را نیز با هم جمع کرده ام تا به توان y در پاسخ مسأله برسم. فراموش نکنید که اگر متغیری توان نداشته باشد، به صورت پیش فرض توان آن 1 می باشد:
(3 + 5 + 1 = 9)
تقسیم عبارات جبری (Dividing terms)
در عبارات جبری رایج است که به جای استفاده از علامت تقسیم (÷)، تقسیم ها را به صورت کسر نشان می دهند. بنابراین، تقسیم جملات جبری، براستی شبیه ساده کردن کسرها می باشد. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ساده کردن کسرها، فصل 9 را ببینید.)
برای تقسیم یک جمله جبری بر جمله ای دیگر، این مراحل را دنبال کنید:
-
یک کسر از دو جمله بسازید.
فرض کنید می خواهید تقسیم زیر را انجام بدهید:
3xy ÷ 12x2
با تبدیل این مسأله به یک کسر، کار را آغاز کنید:
-
فاکتورهای مشترک در صورت و مخرج کسر را خط بزنید.
در این مورد، شما یک 3 را می توانید خط بزنید. توجه داشته باشید که اگر ضریب جمله جبری 1 گردد، می توانید آن 1 را از قلم بیندازید:
-
متغیرهای مشترک در صورت و مخرج کسر را خط بزنید.
شما می توانید x2 را به xx بشکنید.
حالا شما می توانید به وضوح یک x را از صورت و مخرج کسر خط بزنید:
همانطور که می بینید، کسر نتیجه، در واقع ساده شدۀ کسر اصلی می باشد.
به عنوان مثالی دیگر، تقسیم زیر را در نظر بگیرید:
-6x2yz3 ÷ -8x2y2zبا نوشتن این تقسیم به صورت کسر، کار را آغاز می کنیم:
ابتدا ضریب ها را ساده کنید. توجه داشته باشید از آنجایی که هر دو ضریب منفی هستند، شما می توانید هر دو علامت منفی را در صورت و مخرج کسر خط بزنید:
حالا می توانید شروع به خط زدن متغیرها کنید. من این کار را در دو مرحله به شکل زیر انجام داده ام:
در این مرحله، فقط هر تکرار از متغیری را که هم در صورت و هم در مخرج کسر ظاهر شده باشد را خط بزنید:
هشدار: اگر در صورت یا مخرج کسر بیش از یک جمله جبری وجود داشته باشد، شما نمی توانید متغیرها یا ضرایب را خط بزنید.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: