خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
حدهای آسان
فصل 7 مفهوم حد را معرفی کرد. این فصل به سراغ اصل موضوع می رود و چندین تکنیک بری محاسبۀ پاسخهای مسأله های حد ارائه می دهد.
برخی از مسأله های حد خیلی آسان هستند. آنقدر آسان که من نمی خواهم وقت شما را با ملاحظات غیر ضروری در مقدمه بگیرم ـــ در عوض، من صرفاً می خواهم به سراغ اصل مطلب بروم و فقط حقایق بسیار مهم را به شما بگویم ... اوکی، آیا آماده اید؟
شما باید حدهای زیر را حفظ کنید. اگر در به یاد آوری حدهای ارائه شده در اینجا (مخصوصاً سه مورد آخر) به مشکل بخورید، ممکن است زمان بسیار زیادی را برای کشف آنها هدر دهید.
$$ \lim \limits_{x \to a} c = c$$
(\(y=c\) یک خط افقی است، بنابراین این حد ـــ که ارتفاع این تابع می باشد ـــ صرفنظر از اینکه عدد فلش چه باشد، باید برابر با \(c\) باشد.)
$$\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
$$\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$
$$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
$$\lim \limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$
$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$$
$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} =0$$
$$\lim \limits_{x \to \infty} \biggl( 1+\frac{1}{x} \biggr)^x = e \approx 2.718$$
مسأله های جایگذاری و حل (Plug-and-chug) دومین دسته بندی از حدهای آسان را می سازند. کافیست عدد پیکان (arrow-number) در تابع حد جایگذاری کنید، و اگر نتایج محاسبه یک عدد باشد، آن عدد پاسخ شماست (اما هشدارهای زیر را هم ببینید). به عنوان مثال:
$$\lim \limits_{x \to 3} (x^2-10) = -1$$
(فراموش نکنید که برای اینکه این روش درست کار کند، نتیجه ای که بعد از جایگذاری بدست می آورید باید عددی عادی باشد، نه بی نهایت یا منفی بی نهایت یا چیزی که تعریف نشده است.)
اگر مشغول حل کردن یک تابع پیوسته هستید (مانند موردی که در مثال بالا هست) یا تابعی که در سرتاسر دامنه اش پیوسته است، این روش همیشه درست جواب می دهد. اینها مسأله های بدیهی هستند، و اگر بخواهم کاملاً رُک باشم، واقعاً هیچ سودی در آنها وجود ندارد. این حد به سادگی مقدار آن تابع است. اگر با هر نوع دیگری از توابع کار می کنید، این روش فقط گاهی اوقات درست جواب می دهد.
حدهای آسان (Easy Limits)
برخی از مسأله های حد خیلی آسان هستند. آنقدر آسان که من نمی خواهم وقت شما را با ملاحظات غیر ضروری در مقدمه بگیرم ـــ در عوض، من صرفاً می خواهم به سراغ اصل مطلب بروم و فقط حقایق بسیار مهم را به شما بگویم ... اوکی، آیا آماده اید؟
حدهایی که باید حفظ کنید
شما باید حدهای زیر را حفظ کنید. اگر در به یاد آوری حدهای ارائه شده در اینجا (مخصوصاً سه مورد آخر) به مشکل بخورید، ممکن است زمان بسیار زیادی را برای کشف آنها هدر دهید.
$$ \lim \limits_{x \to a} c = c$$
(\(y=c\) یک خط افقی است، بنابراین این حد ـــ که ارتفاع این تابع می باشد ـــ صرفنظر از اینکه عدد فلش چه باشد، باید برابر با \(c\) باشد.)
$$\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
$$\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$
$$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
$$\lim \limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$
$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$$
$$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} =0$$
$$\lim \limits_{x \to \infty} \biggl( 1+\frac{1}{x} \biggr)^x = e \approx 2.718$$
مسأله های جایگذاری و حل (Plug-and-chug)
مسأله های جایگذاری و حل (Plug-and-chug) دومین دسته بندی از حدهای آسان را می سازند. کافیست عدد پیکان (arrow-number) در تابع حد جایگذاری کنید، و اگر نتایج محاسبه یک عدد باشد، آن عدد پاسخ شماست (اما هشدارهای زیر را هم ببینید). به عنوان مثال:
$$\lim \limits_{x \to 3} (x^2-10) = -1$$
(فراموش نکنید که برای اینکه این روش درست کار کند، نتیجه ای که بعد از جایگذاری بدست می آورید باید عددی عادی باشد، نه بی نهایت یا منفی بی نهایت یا چیزی که تعریف نشده است.)
اگر مشغول حل کردن یک تابع پیوسته هستید (مانند موردی که در مثال بالا هست) یا تابعی که در سرتاسر دامنه اش پیوسته است، این روش همیشه درست جواب می دهد. اینها مسأله های بدیهی هستند، و اگر بخواهم کاملاً رُک باشم، واقعاً هیچ سودی در آنها وجود ندارد. این حد به سادگی مقدار آن تابع است. اگر با هر نوع دیگری از توابع کار می کنید، این روش فقط گاهی اوقات درست جواب می دهد.
مراقب ناپیوستگی ها (discontinuities) باشید. روش جایگذاری و حل (plug-and-chug) برای هر نوع تابعی، شامل توابع قطعه ای (piecewise functions)، درست کار می کند، مگر اینکه یک ناپیوستگی در عدد فلشی که جایگذاری می کنید، وجود داشته باشد. در آن صورت، اگر بعد از جایگذاری، عددی را بدست آوردید، آن عدد حد نمی باشد؛ این حد ممکن است برابر عدد دیگری باشد و یا اینکه وجود نداشته باشد. (برای اطلاعات بیشتر در مورد توابع قطعه ای، فصل 7 را ببینید.)
هنگامی که جایگذاری یک عدد غیرصفر بر روی یک صفر را به شما نتیجه می دهد، چه اتفاقی می افتد؟ اگر عدد فلش را در یک حد مانند \(\lim \limits_{x \to 5} \frac{10}{x-5}\) جایگذاری می کنید و هر عددی (به جز صفر) را که بر صفر تقسیم شده باشد، بدست می آورید ـــ مانند \(\frac{10}{0}\) ـــ سپس، خواهید دانست که این حد وجود ندارد، به عبارت دیگر، این حد بربر با یک عدد متناهی نمی باشد. (این پاسخ ممکن است بی نهایت یا منفی بی نهایت یا صرفاً فقط عبارت سادۀ "وجود ندارد" باشد.)
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: