"گاو مشک" (musk-ox) و گوزن کانادایی (caribou) در شمال کانادا، پستانداران سُم داری هستند که از دوران چهارم زمین شناسی (Pleistocene Era)، که \(10,000\) سال پیش پایان یافت، جان سالم به در برده اند. در سال 1955، جمعیت گاوهای مشک جزیرۀ بنکز (Banks Island) تقریباً 9250 رأس بود. فرض کنید که در سال های متوالی رُشد جمعیت گاو مشک ها یک دنبالۀ هندسی بسازد که در آن تعداد گاو مشک ها تقریباً \(1650\) رأس در سال افزایش یابد. چند سال طول می کشد تا جمعیت گاو مشک ها به \(100,000\) رأس برسد.

پاسخ

این دنباله، یک دنبالۀ هندسی می باشد: \(9,250, 10,900, 12,550, 14,200, …, 100,000\)

در این دنباله پارامترهای زیر را داریم:
اولین جمله (First term): \(t_1=9250\)
قدر نسبت (Common difference): \(d=1650\)
\(n\)امین جمله (nth term): \(t_n=100,000\)

برای تعیین تعداد جملات در این دنباله، مقادیر معلوم را در فرمول جملۀ عمومی (general term) یک دنبالۀ هندسی، جایگذاری کنید.
$$
t_n = t_1 + (n-1)d\\
100,000=9250+(n-1)1650 \\
100,000=9250+1650n-1650 \\
100,000=1650n+7600 \\
92,400 = 1650n \\
56=n
$$
در این دنباله \(56\) جمله وجود دارد.
در واقع \(56\) سال طول می کشد تا جمعیت گاو مشک ها به \(100,000\) رأس برسد.

حالا نوبت شماست

مورچه های نجار (Carpenter ants) بزرگ و معمولاً سیاه هستند و کلونی هایشان را در چوب می سازند. اگرچه در اطراف خانه ها به عنوان یک آفت به آنها نگاه می شود، اما در اکوسیستم جنگل نقش قابل توجهی دارند. مورچه های نجار با یک کلونی مخصوص والدین کارشان را آغاز می کنند. وقتی که این کلونی به خوبی ایجاد و برقرار شد، آنها کلونی های ماهواره ای در اطراف کلونی والدین می سازند که فقط شامل کارگرها می باشند. یک کلونی برقرار شده می تواند تا \(3000\) مورچه را در خود داشته باشد. فرض کنید رشد کلونی یک دنبالۀ هندسی بسازد که در آن تعداد مورچه ها به طور متوسط \(80\) عدد در ماه افزایش یابد. اگر با \(40\) مورچه آغاز شده باشد، چند ماه طول می کشد تا جمعیت مورچه ها به \(3000\) عدد برسد؟