تمرین 16: سری هندسی بی نهایت، استفادۀ کاربردی

رانندۀ یک ماشین تیرکوب، یک تیر فلزی را در زمین می کوبد. با اولین ضربه، آن تیر فلزی $30 \text{ cm}$ حرکت می کند؛ با ضربۀ دوم $27 \text{ cm}$ حرکت می کند. در حالت های زیر، مجموع مسافتی که این تیر فلزی به داخل زمین فرو رفته است را محاسبه کنید:

این مسافت ها یک دنبالۀ هندسی را تشکیل دهند و این تیر فلزی $8$ بار کوبیده شود.
این مسافت ها یک دنبالۀ هندسی را تشکیل دهند و این تیر فلزی به طور نامحدود کوبیده شود.

پاسخ

$$
t_1=30\\
r=\frac{27}{30}=\frac{9}{10}\\
n=8\\
\text{ }\\[2ex]
S_n=\frac{t_1 \bigl( r^n - 1 \bigr)}{r-1}\\
S_8= \frac{30 \biggl( \bigl( \frac{9}{10} \bigr)^8 -1 \biggr)}{\frac{9}{10} - 1}\\
S_8 \approx 170.86 \text{ cm}
$$
$$
t_1=30\\
r=\frac{9}{10}\\
\text{ }\\[2ex]
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}, -1 \lt r \lt 1\\
S_{\infty} = \frac{30}{1-\frac{9}{10}}\\
S_{\infty} = \frac{30}{\frac{1}{10}}\\
S_{\infty} = 300 \text{ cm}
$$