"داریا" یک باشگاه گلف جدید خریده است. او می خواهد بداند مسافتی که قادر است در این باشگاه به توپ ضربه بزند چقدر است. او از کلاس فیزیکش به خاطر می آورد که مسافتی، \(d\)، که یک توپ می پیماید می تواند با فرمول زیر مُدلسازی شود:





$$
d=\frac{V^2 \cos \theta \sin \theta}{16}
$$
که در این فرمول \(V\) سرعت سیر اولیه (initial velocity) در واحد فوت بر ثانیه (feet per second)، و \(\theta\) زاویۀ فراز (angle of elevation) است.

1. واحد راداری که محدودۀ تمرین را پوشش می دهد، نشان می دهد که سرعت اولیه برابر با \(110 \frac{\text{ft}}{\text{s}}\) است و این توپ در زاویۀ \(30^{\circ}\) از زمین ضربه می خورد. مسافت دقیقی را که داریا به این توپ ضربه زده است تعیین کنید.
   
2. داریا برای اینکه بتواند مسافت بیشتری نسبت به ضربۀ بخش \(\text{a}\) را بزند، آیا باید زاویۀ ضربه را افزایش دهد یا اینکه آن را کاهش دهد؟ توضیح دهید.
   
3. فکر می کنید کدام زاویۀ فراز (angle of elevation) ضربه ای را تولید کند که بیشترین مسافت را بپیماید؟ دلایلتان را توضیح دهید.
   

پاسخ

1. $$
   d=\frac{V^2 \cos \theta \sin \theta}{16}\\
   d = \frac{(110)^2 \cos (30^{\circ}) \sin (30^{\circ})}{16}\\
   d = \frac{12100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{16}\\
   d = \frac{12100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}}{16} \\
   d = \frac{3025 \sqrt{3}}{16} \text{ ft}
   $$
   
2. برای رسیدن به پاسخ این قسمت و همچنین پاسخ قسمت \(\text{c}\) از روش حدس و درست آزمایی استفاده می کنیم و مقادیر زوایای مختلف را در فرمول جایگذاری و تست می کنیم.
   با افزایش زاویه تا \(45^{\circ}\) مسافت افزایش می یابد و بعد از \(45^{\circ}\) مسافت کاهش می یابد.
   
3. بیشترین مسافت زمانی رخ می دهد که زاویه \(45^{\circ}\) باشد. حاصلضرب \(\cos \theta\) و \(\sin \theta\) در حالتی که \(\theta = 45^{\circ}\) باشد، بیشترین مقدار ممکن اش را دارد.