گارد ساحلی ناحیۀ اقیانوس آرام در کاناد مسئول بیش از \(27,000 \text{ km}\) خط ساحلی است. نورافکن چرخانِ کشتی گارد ساحلی می تواند تا مسافت \(250 \text{ m}\) را روشن کند. یک مشاهده کننده در ساحل در فاصلۀ \(500 \text{ m}\) از این کشتی قرار دارد. خط دید وی با کشتی زاویه ای \(20^{\circ}\) با خط ساحلی می سازد. چه طولی از خط ساحلی توسط این نورافکن روشن می شود؟

پاسخ

ابتدا سعی می کنیم \(\angle{D}\) را بیابیم. برای این منظور مثلث بزرگ را در نظر می گیریم و قانون سینوس را بر روی آن اعمال می کنیم. رأسی از مثلث که مشاهده کننده (observer) در آن قرار دارد را \(O\) نامگذاری می کنیم و رأسی که کشتی گارد ساحلی (Coast Guard ship) در آنجا قرار دارد را \(C\) نامگذاری می کنیم.
در \(\triangle{OCD}\) :
$$
\frac{\sin D}{d} = \frac{\sin O}{o}\\
\frac{\sin D}{500} = \frac{\sin 20^{\circ}}{250}\\
\sin D = \frac{500 \sin 20^{\circ}}{250}\\
\angle{D} = \sin^{-1} \biggl( \frac{500 \sin 20^{\circ}}{250} \biggr) \\
\angle{D} \approx 43^{\circ}
$$
حالا به سراغ مثلث کوچکتر می رویم. قسمتی که در تصویر با shoreline (خط ساحلی) مشخص شده است، چیزی است که مسأله از ما می خواهد. باز هم از قانون سینوس و این بار بر روی مثلث کوچکتر استفاده می کنیم.
در \(\triangle{ACD}\) :
اولین نکته اینست که یک مثلث متساوی الساقین (isosceles triangle) داریم، پس \(\angle{A} = \angle{D} = 43^{\circ}\) می باشد.
$$
\angle{C} = 180^{\circ} - 43^{\circ} - 43^{\circ} = 94^{\circ}\\
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}\\
\frac{c}{\sin 94^{\circ}} = \frac{250}{\sin 43^{\circ}}\\
c \approx 365.7 \text{ m}
$$
میزان مسافتی از خط ساحلی که توسط این نورافکن روشن می شود تقریباً برابر با \(366 \text{ m}\) است.