خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرینات توابع مرکب
در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث توابع مرکب (Composite Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.
در تمرینات \(\text{7-10}\)، فرمولی برای \(f \circ g \circ h\) بنویسید.
فرض کنید \(f(x)=x-3\)، \(g(x)=\sqrt{x}\)، \(h(x)=x^3\)، و \(j(x)=2x\). هر کدام از توابع موجود در تمرینات \(11\) و \(12\) را به شکل ترکیبی شامل یک یا بیشتر از \(f\)، \(g\)، \(h\)، و \(j\) بنویسید.
در تمرینات \(17\) و \(18\)، فرمول هایی برای \(f \circ g\) و \(g \circ f\) بنویسید و دامنه و بُرد هر تابع را بیابید.
-
اگر \(f(x)=x+5\) و \(g(x)=x^2-3\)، موارد زیر را بیابید.
-
$$f(g(0))$$
-
$$g(f(0))$$
-
$$f(g(x))$$
-
$$g(f(x))$$
-
$$f(f(-5))$$
-
$$g(g(2))$$
-
$$f(f(x))$$
-
$$g(g(x))$$
-
$$f(g(0))$$
-
اگر \(f(x)=x-1\) و \(g(x)=\frac{1}{(x+1)}\)، موارد زیر را بیابید.
-
$$f(g(\frac{1}{2}))$$
-
$$g(f(\frac{1}{2}))$$
-
$$f(g(x))$$
-
$$g(f(x))$$
-
$$f(f(2))$$
-
$$g(g(2))$$
-
$$f(f(x))$$
-
$$g(g(x))$$
-
$$f(g(\frac{1}{2}))$$
در تمرینات \(\text{7-10}\)، فرمولی برای \(f \circ g \circ h\) بنویسید.
-
$$f(x)=x+1, g(x)=3x,h(x)=4-x$$
-
$$f(x)=3x+4, g(x)=2x-1, h(x)=x^2$$
-
$$f(x)=\sqrt{x+1}, g(x)=\frac{1}{x+4}, h(x)=\frac{1}{x}$$
-
$$f(x)=\frac{x+2}{3-x}, g(x)=\frac{x^2}{x^2+1}, h(x)=\sqrt{2-x}$$
فرض کنید \(f(x)=x-3\)، \(g(x)=\sqrt{x}\)، \(h(x)=x^3\)، و \(j(x)=2x\). هر کدام از توابع موجود در تمرینات \(11\) و \(12\) را به شکل ترکیبی شامل یک یا بیشتر از \(f\)، \(g\)، \(h\)، و \(j\) بنویسید.
-
-
$$y=\sqrt{x}-3$$
-
$$y=2\sqrt{x}$$
-
$$y=x^{\frac{1}{4}}$$
-
$$y=4x$$
-
$$y=\sqrt{(x-3)^3}$$
-
$$y=(2x-6)^3$$
-
$$y=\sqrt{x}-3$$
-
-
$$y=2x-3$$
-
$$y=x^{\frac{3}{2}}$$
-
$$y=x^9$$
-
$$y=x-6$$
-
$$y=2\sqrt{x-3}$$
-
$$y=\sqrt{x^3-3}$$
-
$$y=2x-3$$
-
جدول زیر را کامل کنید.
-
جدول زیر را کامل کنید.
-
هر عبارت را با استفاده از مقادیر داده شده در جدول ارزیابی کنید:
-
هر عبارت را با استفاده از این توابع ارزیابی کنید:
در تمرینات \(17\) و \(18\)، فرمول هایی برای \(f \circ g\) و \(g \circ f\) بنویسید و دامنه و بُرد هر تابع را بیابید.
-
$$f(x)=\sqrt{x+1}, g(x)=\frac{1}{x}$$
-
$$f(x)=x^2, g(x)=1-\sqrt{x}$$
-
فرض کنید \(f(x)=\frac{x}{x-2}\). تابع \(y=g(x)\) را بیابید، به نحویکه \((f \circ g)(x)=x\).
-
فرض کنید \(f(x)=2x^3-4\). تابع \(y=g(x)\) را بیابید، به نحویکه \((f \circ g)(x)=x+2\) .
پاسخ تمرینات
-
-
\(2\)
-
\(22\)
-
\(x^2+2\)
-
\((x+5)^2-3=x^2+10x+22\)
-
\(5\)
-
\(-2\)
-
\(x+10\)
-
\((x^2-3)^2-3=x^4-6x^2+6\)
-
\(2\)
-
-
\(-\frac{1}{3}\)
-
\(2\)
-
\(\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\)
-
\(\frac{1}{x}\)
-
\(0\)
-
\(\frac{3}{4}\)
-
\(x-2\)
-
\(\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2}\)
-
\(-\frac{1}{3}\)
-
$$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)= f(g(4-x)) \\
= f(3(4-x))=f(12-3x)=(12-3x)+1=13-3x$$
-
$$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)=f(g(x^2)) \\
f(2(x^2)-1)=f(2x^2-1)=3(2x^2-1)+4=6x^2+1$$
-
$$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)= f(g(\frac{1}{x}))\\
=f(\frac{1}{\frac{1}{x}+4})=f(\frac{x}{1+4x})=\sqrt{\frac{x}{1+4x}+1}=\sqrt{\frac{5x+1}{1+4x}}$$
-
$$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)=f(g(\sqrt{2-x}))\\
=f(\frac{(\sqrt{2-x})^2}{(\sqrt{2-x})^2+1}) =f(\frac{2-x}{3-x})=\frac{\frac{2-x}{3-x}+2}{3-\frac{2-x}{3-x}}=\frac{8-3x}{7-2x}$$
-
-
\((f \circ g)(x)\)
-
\((j \circ g)(x)\)
-
\((g \circ g)(x)\)
-
\((j \circ j)(x)\)
-
\((g \circ h \circ f)(x)\)
-
\((h \circ j \circ f)(x)\)
-
\((f \circ g)(x)\)
-
-
\((f \circ g)(x)\)
-
\((g \circ h)(x)\)
-
\((h \circ h)(x)\)
-
\((f \circ f)(x)\)
-
\((j \circ g \circ f)(x)\)
-
\((g \circ f \circ h)(x)\)
-
\((f \circ g)(x)\)
-
-
$$(f \circ g)(x)=|g(x)|=\frac{1}{|x-1|}$$
-
$$(f \circ g)(x)= \frac{g(x)-1}{g(x)}= \frac{x}{x+1} \Rightarrow 1-\frac{1}{g(x)}=\frac{x}{x+1}\\
\Rightarrow 1 - \frac{x}{x+1}= \frac{1}{g(x)} \Rightarrow \frac{1}{x+1} = \frac{1}{g(x)} $$
بنابراین \(g(x)=x+1\)
-
$$(f \circ g)(x)= \sqrt{g(x)} = |x| \Rightarrow g(x)=x^2$$
-
$$(f \circ g)(x)= f (\sqrt{x})=|x| \Rightarrow f(x)=x^2$$
(توجه کنید که دامنۀ این تابع مرکب \([0,\infty)\) می باشد.)
جدول کامل در اینجا نشان داده شده است، توجه کنید که علامت قدرمطلق در بخش \(d\) اختیاری می باشد.
-
$$(f \circ g)(x)=|g(x)|=\frac{1}{|x-1|}$$
-
-
\(f(g(-1))=f(1)=1\)
-
\(g(f(0))=g(-2)=2\)
-
\(f(f(-1))=f(0)=-2\)
-
\(g(g(2))=g(0)=0\)
-
\(g(f(-2))=g(1)=-1\)
-
\(f(g(1))=f(-1)=0\)
-
\(f(g(-1))=f(1)=1\)
-
-
\(f(g(0))=f(-1)=2-(-1)=3\)، که در آن \(g(0)=0-1=-1\)
-
\(g(f(3))=g(-1)=-(-1)=1\)، که در آن \(f(3)=2-3=-1\)
-
\(g(g(-1))=g(1)=1-1=0\)، که در آن \(g(-1)=-(-1)=1\)
-
\(f(f(2))=f(0)=2-0=2\)، که در آن \(f(2)=2-2=0\)
-
\(g(f(0))=g(2)=2-1=1\)، که در آن \(f(0)=2-0=2\)
-
\(f(g(\frac{1}{2}))=f(-\frac{1}{2})=2-(-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}\)، که در آن \(g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
-
\(f(g(0))=f(-1)=2-(-1)=3\)، که در آن \(g(0)=0-1=-1\)
-
-
$$(f \circ g)(x) = f(g(x))=\sqrt{\frac{1}{x}+1}=\sqrt{\frac{1+x}{x}}\\
(g \circ f)(x)= g(f(x))=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$$
-
$$\text{Domain } (f \circ g): (-\infty,-1] \cup (0,\infty) \\
\text{Domain } (g \circ f): (-1,\infty)$$
-
$$\text{Range } (f \circ g): [0,1) \cup (1,\infty)\\
\text{Range } (g \circ f): (0,\infty)$$
-
$$(f \circ g)(x) = f(g(x))=\sqrt{\frac{1}{x}+1}=\sqrt{\frac{1+x}{x}}\\
-
-
$$(f \circ g)(x)=f(g(x))=1-2\sqrt{x}+x\\
(g \circ f)(x)=g(f(x))=1-|x|$$
-
$$\text{Domain } (f \circ g): [0,\infty)\\
\text{Domain } (g \circ f): (-\infty,\infty)$$
-
$$\text{Range } (f \circ g): (0,\infty)\\
\text{Range } (g \circ f): (-\infty,1]$$
-
$$(f \circ g)(x)=f(g(x))=1-2\sqrt{x}+x\\
-
$$(f \circ g)(x)=x \Rightarrow f(g(x))=x \Rightarrow \frac{g(x)}{g(x)-2}=x \\
\Rightarrow g(x)=(g(x)-2)x=x \cdot g(x)-2x \Rightarrow g(x)-x \cdot g(x)=-2x \\\Rightarrow g(x)=-\frac{2x}{1-x}=\frac{2x}{x-1}$$
-
$$(f \circ g)(x)=x+2 \Rightarrow f(g(x))=x+2 \Rightarrow 2(g(x))^3-4=x+2 \\
\Rightarrow (g(x))^3 = \frac{x+6}{2} \Rightarrow g(x)= \sqrt[3]{\frac{x+6}{2}}$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: