فرض کنید که در یک نمایش بدلکاری، دو اجرا کننده در سیرک دو سولِی (Cirque du Soleil) از دو الاکلنگِ تقریباً متعادل به سمت یکدیگر پرتاب می شوند. اولین اجرا کننده پرتاب می شود و \(1\) ثانیه بعد، اجرا کنندۀ دوم در جهت مخالف آن پرتاب می شود. هر دوی آنها یک چرخ می زنند و در هوا کف دستشان را به یکدیگر می زنند. هر کدام از این اجرا کننده ها برای مدت \(2\) ثانیه در هوا می ماند. ارتفاع آنها از سطح الاکلنگ در طول زمان اجرای این بدلکاری با سهمی نشان داده شده در زیر، تخمین زده می شود. مسیرهای آنها در یک صفحۀ مختصات نشان داده شده اند.

1. دستگاه معادلاتی را تعیین کنید که ارتفاع این اجرا کننده ها را در طول این بدل کاری نشان می دهد.
   
2. به کمک فناوری، این دستگاه معادلات را با روش ترسیم نمودار حل کنید.
   
3. با توجه به این وضعیت، پاسخ هایتان را تفسیر کنید.
   

پاسخ

1. برای اولین اجرا کننده (first performer)، رأس سهمی در \((1,5)\) می باشد. از شکل رأس برای سهمی استفاده کنید:
   $$
   h = a(t-p)^2 + q
   $$
   مختصات رأس را در آن جایگذاری کنید:
   $$
   h = a(t-\color{red}{1})^2 + \color{red}{5}
   $$
   نقطۀ \((0,0)\) بر روی این سهمی قرار دارد. این نقطه را در معادلۀ سهمی جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن \(a\) حل کنید:
   $$
   \color{red}{0} = a(\color{red}{0}-1)^2 + 5\\
   -5 = a
   $$
   معادلۀ ارتفاع اولین اجرا کننده در طول زمان برابر است با:
   $$
   h=-5(t-1)^2 + 5
   $$
   
   در مورد اجرا کنندۀ دوم (second performer)، رأس سهمی در \((2,5)\) است. از شکل رأس سهمی استفاده کنید:
   $$
   h=a(t-p)^2 + q
   $$
   سپس، با جایگذاری رأس در شکل رأس سهمی داریم:
   $$
   h=a(t-\color{red}{2})^2 + \color{red}{5}
   $$
   نقطۀ \((1,0)\) بر روی سهمی قرار دارد. این نقطه را در معادلۀ سهمی جایگذاری کنید و آن را برای بدست آوردن \(a\) حل کنید:
   $$
   \color{red}{0} = a(\color{red}{1}-2)^2 + 5\\
   -5 = a
   $$
   معادلۀ ارتفاع دومین اجرا کننده در طول زمان برابر است با:
   $$
   h = -5(t-2)^2 + 5
   $$
   دستگاه معادلاتی که ارتفاع این اجرا کننده ها را مدلسازی می کند برابر است با:
   $$
   h=-5(t-1)^2 + 5\\
   h = -5(t-2)^2 + 5
   $$
   
2. از یک ماشین حساب نموداری برای ترسیم نمودارهای توابع این دستگاه استفاده کنید. از ویژگی تقاطع برای یافتن نقطۀ تقاطع استفاده کنید.
   این دستگاه یک پاسخ دارد: \((1.5, 3.75)\)
   
   
3. این پاسخ بدین معناست که این اجرا کننده ها، \(1.5\) ثانیه بعد از اینکه اجرا کنندۀ اول به هوا پرید، در ارتفاع یکسانی در \(3.75\) متر بالاتر از الاکلنگ هستند. این اتفاق زمانی رخ می دهد که از پریدن اجرا کنندۀ دوم \(0.5\) ثانیه گذشته است. این نقطه محلی است که آنها کف دستهایشان را به هم می کوبند.
   

حالا نوبت شماست

در اجرای دیگری، ارتفاع از سطح الاکلنگ در مقابل زمان اجرا در طول این بدلکاری، با سهمی نشان داده شده در زیر، تخمین زده شده است. دوباره فرض کنید که دومین اجرا کننده \(1\) ثانیه بعد از اولین اجرا کننده کارش را آغاز می کند. مسیرهای آنها در یک محور مختصات نشان داده شده اند.

1. دستگاه معادلاتی را تعیین کنید که ارتفاع این اجرا کننده ها را در طول این بدلکاری مدلسازی می کند.
   
2. به کمک فناوری و با روش ترسیم نمودار این دستگاه را حل کنید.
   
3. پاسخ هایتان را با توجه به این وضعیت، توصیف کنید.