حجم اشکال زیر را به دست آورید.

پاسخ

این شکل از دو مکعب مستطیل هم اندازه و یک مکعب مستطیل بزرگتر تشکیل شده است.
ابتدا حجم مکعب مستطیل بزرگتر را محاسبه می کنیم:
$$
V = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12
$$
هم اکنون حجم دو مکعب مستطیل کوچکتر را به دست می آوریم:
$$
V = 2 (3 \cdot 2 \cdot 1) = 2 (6) = 12
$$
حجم کل:
$$
12 + 12 = 24
$$
این شکل یک استوانۀ توخالی است. ابتدا حجم استوانه را بدست می آوریم. سپس حجم آن ناحیۀ خالی را نیز محاسبه می کنیم و از حجم استوانه کم می کنیم.
حجم استوانه:
$$
s = \pi \cdot r \cdot r = 3.14 \cdot 2 \cdot 2 = 12.56\\
V = s \cdot h = 12.56 \cdot 10 = 125.6
$$
هم اکنون حجم ناحیۀ خالی که در اصل یک استوانۀ دیگر می باشد، را محاسبه می کنیم:
$$
s = 3.14 \cdot 1 \cdot 1 = 3.14\\
V = 3.14 \cdot 10 = 31.4
$$
هم اکنون حجم دقیق را محاسبه می کنیم:
$$
V = 125.6 - 31.4 = 94.2
$$
نکته: از آنجا که این شکل یک منشور است، می توانستیم ابتدا مساحت هر دو دایره را به دست آوریم و سپس با تفریق آنها، مساحت ناحیۀ قرمز رنگ را به دست آوریم و در ارتفاع ضرب کنیم. در این روش اینگونه مسئله را حل می کردیم.
مساحت دایرۀ بزرگتر: \(12.56\)
مساحت دایرۀ کوچکتر: \(3.14\)
مساحت ناحیۀ قرمزرنگ: \(12.56 - 3.14 = 9.42\)
حجم منشور: \(V = 9.42 \cdot 10 = 94.2\)

برای بدست آوردن حجم این شکل، ابتدا مساحت مربع را بدست می آوریم. سپس مساحت دایره را به دست می آوریم و در نهایت با کم کردن مساحت دایره از مساحت مربع، مساحت ناحیۀ سبز رنگ را محاسبه می کنیم. در پایان با فرمول حجم منشور، حجم کل را به دست می آوریم.
مساحت مربع: \(s = 3 \cdot 3 = 9\)
مساحت دایره: \(s = 3.14 \cdot 1 \times 1 = 3.14\)
مساحت ناحیۀ سبز رنگ: \(9 - 3.14 = 5.86\)
حجم منشور: \(V = 5.86 \cdot 2.5 = 14.65\)

قاعدۀ این منشور از دو مستطیل تشکیل شده است که مساحت هر کدام را جداگانه حساب می کنیم و سپس با یکدیگر جمع می زنیم:
مساحت مستطیل بزرگتر: \(s = 4.5 \cdot 2 = 9\)
مساحت مستطیل کوچکتر: \(s = 1.5 \cdot 1 = 1.5\)
مساحت قاعده: \(s = 9 + 1.5 = 10.5\)
حجم منشور: \(V = 10.5 \cdot 6 = 63\)

برای بدست آوردن مساحت قاعده، مساحت مستطیل کوچکتر را از مساحت مستطیل بزرگتر، کم می کنیم.
مساحت مستطیل بزرگتر (این مستطیل از نوع مربع است): \(s = 3.5 \cdot 3.5 = 12.25\)
مساحت مستطیل کوچکتر: \(s = 2.5 \cdot 2 = 5\)
مساحت قاعده: \(s = 12.25 - 5 = 7.25\)
حجم منشور: \(V = 7.25 \cdot 2 = 14.5\)

مساحت قاعدۀ این شکل متشکل از یک مربع و یک نیم دایره است.
مساحت مربع: \(s = 8 \cdot 8 = 64\)
مساحت نیم دایره: \(s = \frac{1}{2} (3.14 \cdot 4 \cdot 4) = \frac{1}{2} (50.24) = 25.12\)
مساحت قاعده: \(s = 64 + 25.12 = 89.12\)
حجم منشور: \(V = 89.12 \cdot 10 = 891.2\)