یک هواپیمای باری کانادایی یک جعبۀ تجهیزات اضطراری برای امدادگران در زمین رها کرد. این جعبه در آغاز و قبل از آن که چتر نجات باز شود و آن را به آرامی در زمین بنشاند، به سمت زمین سقوط آزاد می کرد. ارتفاع این جعبه از سطح زمین در واحد متر، \(h\)، در \(t\) ثانیه بعد از این که از هواپیما رها شد، با دو معادلۀ زیر تعیین می شود.


معادلۀ \(h=-4.9t^2 + 700\) ارتفاع این جعبه را در هنگام سقوط آزاد نشان می دهد.


معادلۀ \(h=-5t+650\) ارتفاع این جعبه را در زمانی نشان می دهد که چتر باز شده است.

1. چه مدتی بعد از اینکه این جعبه هواپیما را ترک کرد، چتر باز شده است؟ پاسخ تان را به نزدیک ترین صدم ثانیه بیان کنید.
   
2. هنگامی که چتر باز شد، ارتفاع جعبه از سطح زمین چقدر بود؟ پاسخ تان را به نزدیک ترین متر بیان کنید.
   
3. پاسخ تان را درست آزمایی کنید.
   

پاسخ

1. لحظه ای که چتر باز می شود با نقاط تقاطع این دو ارتفاع، مطابقت دارد. این مختصات را می توان با حل کردن یک دستگاه معادلات، تعیین کرد.
   معادلۀ خطی به لحاظ متغیر \(h\) نوشته می شود، بنابراین از روش جایگزینی استفاده کنید.
   در معادلۀ درجه دوم، \(-5t+650\) را جایگزین \(h\) کنید.
   $$
   h=-4.9t^2 + 700\\
   \color{red}{-5t+650} = -4.9t^2 + 700\\
   4.9t^2 -5t-50=0
   $$
   با استفاده از فرمول معادلۀ درجه دوم، این معادله را حل کنید.
   $$
   t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
   t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(\color{red}{-5})^2 - 4(\color{red}{4.9})(\color{red}{-50})}}{2(4.9)}\\
   t = \frac{5 \pm \sqrt{1005}}{9.8}\\
   t = \frac{5+\sqrt{1008}}{9.8} \text{ or } t = \frac{5 - \sqrt{1005}}{9.8}\\
   t = 3.745... \text{ or } t = -2.724...
   $$
   این چتر تقریباً در \(3.75\) ثانیه بعد از اینکه جعبه پرتاب شد، باز می شود.
   
   
2. برای یافتن ارتفاع این جعبه از سطح زمین، مقدار \(t=3.745...\) را در معادلۀ خطی جایگذاری کنید.
   $$
   h=-5t+650\\
   h=-5(\color{red}{3.745...})+650\\
   h=631.274...
   $$
   هنگامی که چتر باز می شود، این چتر در حدود \(631\) متر بالاتر از سطح زمین قرار دارد.
   
   

3. روش 1: استفاه از کاغذ و قلم

   برای درست آزمایی پاسخ، پاسخ را در معادلۀ اول دستگاه، در \(t\) جایگذاری کنید.
   $$
   h=-4.9t^2+700\\
   h=-4.9(\color{red}{3.745...})^2 + 700\\
   h=631.274...
   $$
   پاسخ صحیح می باشد.
   
   

   روش 2: استفاده از فناوری

   
   پاسخ صحیح می باشد.
   هنگامی که چتر باز می شود، این جعبه در ارتفاع تقریبی \(631\) متری سطح زمین قرار دارد.
   

حالا نوبت شماست

فرض کنید که ارتفاع جعبۀ بالا از سطح زمین با دو معادلۀ زیر بدست آید.
$$
h=-4.9t^2+900\\
h=-4t+500
$$

1. چه مدتی بعد از اینکه جعبه از هواپیما رها شد، چتر باز می شود؟ پاسخ تان را به نزدیک ترین صدم ثانیه بیان کنید.
   
2. هنگامی که چتر باز می شود، این جعبه در چه ارتفاعی از سطح زمین قرار دارد؟ پاسخ تان را به نزدیک ترین متر بیان کنید.
   
3. پاسخ تان را درست آزمایی کنید.