مساحت و محیط یک مثلث متساوی الاضلاع را به شکل تابعی از طول ضلع آن، \(x\)، بیان کنید.

پاسخ

این مسئله از ما می خواهد که مساحت و محیط یک مثلث متساوی الاضلاع را به شکل تابعی از طول ضلع آن بیان کنیم. برای اینکه درک بهتری از مسئله پیدا کنیم، این مثلث متساوی الاضلاع را ترسیم می کنیم و البته ارتفاع آن و برخی از مقادیر دیگر آن را نیز در تصویر مشخص می سازیم.


ابتدا به سراغ بخش سادۀ مسئله می رسیم. محیط این مثلث برابر با مجموع طول سه ضلع آن می باشد، پس در مورد محیط، تابع زیر را خواهیم داشت:
$$
P(x)=x+x+x\\
P(x) = 3x
$$
در مورد مساحت قضیه کمی پیچیده تر می شود. می دانیم که مساحت این مثلث با فرمول \(A=\frac{1}{2}hx\) به دست می آید. اما آنچه اینجا حائز اهمیت است، اینست که باید این تابع را به لحاظ \(x\)، یعنی طول یکی از اضلاع، بیان کنیم. در واقع باید \(h\) را به لحاظ \(x\) بیان کنیم. مثلث قائم الزاویۀ \(BDC\) را در نظر بگیرید. در این مثلث قضیۀ فیثاغورث را به شکل زیر خواهیم داشت و از آن برای بیان کردن \(h\) به شکل تابعی از \(x\) استفاده می کنیم.
$$
h^2 + (\frac{x}{2})^2 = x^2\\
h^2 = x^2 - (\frac{x}{2})^2\\
h^2 = x^2 - \frac{x^2}{4}\\
h^2 = \frac{3}{4}x^2\\
h = \sqrt{\frac{3}{4}x^2}\\
h=\sqrt{\frac{3}{4}} x\\
h = \frac{\sqrt{3}}{2} x
$$
هم اکنون مقدار به دست آمده برای \(h\) را در فرمول مساحت جایگزین می کنیم.
$$
A=\frac{1}{2}hx\\
A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} x) x\\
A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2
$$