این تمرین مختصات یک نقطه بر روی تابع و مختصات یک نقطۀ خاص دیگر را به ما می دهد و فاصلۀ بین این دو نقطه را به شکل تابعی از y از ما می خواهد. برای حل این تمرین از فرمول مسافت استفاده کرده ایم.

سوال:

نقطۀ \((x,y)\) را که بر روی نمودار \(y=\sqrt{x-3}\) قرار گرفته است، در نظر بگیرید. اجازه دهید \(L\) مسافت بین \((x,y)\) و \((4,0)\) باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(y\) بنویسید.

پاسخ کوتاه:

$$L(y)=\sqrt{y^4-y^2+1}$$

راه حل 1:

برای درک بهتر صورت مسأله نمودار این تابع را همراه با نقطه \((x,y)\) بر روی تابع، و نقطۀ \((4,0)\) در تصویر زیر نشان داده ایم. همچنین خط \(L\) را در تصویر می بینید. این مسأله مسافت خط \(L\) را به شکل تابعی از \(y\) می خواهد.

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
از آنجا که این مسأله، خروجی اش را به شکل تابعی از \(y\) می خواهد، مختصات \((x,y)\) را به لحاظ \(y\) بازنویسی می کنیم:
$$y=\sqrt{x-3} \\
y^2 = (\sqrt{x-3})^2 \\
y^2 = x - 3\\
y^2 + 3 = x \\
x = y^2 + 3$$
با این حساب مختصات \((x,y)\) را به شکل \((y^2 +3 , y)\) بازنویسی می کنیم.
حالا به سراغ محاسبۀ \(L\) می رویم، برای محاسبۀ آن با توجه به اینکه مختصات ابتدا و انتهای آن را داریم، از فرمول مسافت استفاده می کنیم:
$$
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\
d=\sqrt{(y^2+3-4)^2 + (y-0)^2}\\
d=\sqrt{(y^2-1)^2 + y^2}\\
d=\sqrt{y^4-2y^2+1 + y^2}\\
d=\sqrt{y^4-y^2+1}
$$
پاسخ بدست آمده را به شکل تابعی از \(y\) می نویسیم:
$$L(y)=\sqrt{y^4-y^2+1}$$