طی این تمرین مسافت بین یک نقطه بر روی یک تابع تا مبدأ مختصات را به شکل تابعی از مقدار x مختصات آن بیان می کنیم. برای حل این تمرین از قضیۀ فیثاغورث یا فرمول مسافت می توانید استفاده کنید که تفاوت چندانی بین این دو روش نیست و البته هر دو راه حل را ذکر کرده ایم.

سوال:

نقطۀ \((x,y)\) را که بر روی نمودار خط \(2x+4y=5\) قرار گرفته است، در نظر بگیرید. در نظر بگیرید \(L\) مسافت بین نقطۀ \((x,y)\) تا مبدأ مختصات \((0,0)\) می باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(x\) بنویسید.

پاسخ کوتاه:

$$L(x)=\frac{\sqrt{20x^2-20x+25}}{4}$$

راه حل 1:

برای اینکه درک درستی از این تمرین داشته باشید به تصویر زیر نگاه کنید:

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید
در تصویر بالا، نمودار خط \(2x+4y=5\) را می بینید. نقطۀ \(A\) یک نقطۀ نمونه با مختصات \((x,y)\) است، دقت کنید که این نقطه می تواند در هر جای دیگری بر روی این نمودار باشد. فاصلۀ این نقطه با مبدأ مختصات را با خط \(L\) نشان داده ایم. دقت کنید که آن دو خط مشکی را تعمداً ترسیم کرده ایم تا یک موضوع را به شما یادآوری کنیم و آن اینکه ما می توانیم از هر نقطۀ دیگری بر روی این تابع، چنین مثلث قائم الزاویه ای را تشکیل بدهیم و سپس با کمک قضیۀ فیثاغورث و معلوم بودن مختصات \((x,y)\) طول \(L\) را که یکی از مجهول های این مسأله می باشد بدست آوریم. در واقع بنا به قضیۀ فیثاغورث داریم:
\(x^2 + y^2 = L^2\)

مسأله از ما می خواهد که مسافت بین نقطۀ \(A\) و مبدأ مختصات، یعنی \((0,0)\)، را به شکل تابعی از \(x\) بنویسیم. برای رسیدن به این هدف ابتدا مختصات \((x,y)\) را به لحاظ \(x\) بازنویسی می کنیم:
$$2x+4y=5 \\
4y=5-2x \\
y = \frac{5-2x}{4} \\
y = \frac{5}{4} - \frac{2x}{4} \\
y = \frac{5}{4} - \frac{x}{2} $$
حالا با جایگزینی این مقدار به جای \(y\) در مختصات، خواهیم داشت:
$$(x,\frac{5}{4}-\frac{x}{2})$$
حالا با مقداری جبر و استفاده از نتیجۀ قضیۀ فیثاغورث مسأله را حل می کنیم:
$$L^2 = x^2 + y^2\\
L^2 = x^2 + \biggl( -\frac{x}{2} + \frac{5}{4} \biggr)^2 \\
L^2 = x^2 + \frac{x^2}{4} - \frac{5}{4}x + \frac{25}{16} \\
L^2 = \frac{5}{4}x^2 -\frac{5}{4}x + \frac{25}{16} \\
L = \sqrt{\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}} \\
L = \sqrt{\frac{1}{16}(20x^2-20x+25)} \\
L = \frac{\sqrt{20x^2-20x+25}}{4}
$$
از آنجا که مسأله این را در شکل یک تابع از \(x\) از ما می خواهد، پاسخ نهایی می شود:
$$L(x)=\frac{\sqrt{20x^2-20x+25}}{4}$$

راه حل 2:

راه حل دوم نیز عمدتاً مشابه راه حل اول است، فقط در نظر داشته باشید که در قسمتی از راه حل اول که برای یافتن \(L\) از قضیۀ فیثاغورث استفاده کردیم، می توانستیم از فرمول مسافت نیز استفاده کنیم. طبق فرمول مسافت داریم:
$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
حالا دو نقطه ای را که داریم یعنی نقطۀ \((x,y)\) و نقطۀ \((0,0)\) را در فرمول مسافت جایگذاری می کنیم:
$$L=\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \\
L= \sqrt{x^2 - y^2}$$
این در واقع برابر با همان رابطۀ فیثاغورث \(L^2 = x^2 + y^2\) است که در راه حل اول نیز به آن رسیدیم. از آنجا که بقیۀ حل مسأله دقیقاً مشابه راه حل 1 است، دیگر آن را تکرار نمی کنیم.