در این تمرین مختصات یک نقطه بر روی تابع را به شکل تابعی از شیب خطی که آن نقطه با مبدأ مختصات می سازد، بیان می کنیم. برای حل این تمرین ضرورت دارد که شیب خط را درک کرده باشید، برای همین خلاصه ای از شیب خط و روش های محاسبۀ آن را نیز مطرح می کنیم.

سوال:

یک نقطۀ P در رُبع صفحۀ اول (first quadrant) بر روی نمودارِ تابع \(f(x)=\sqrt{x}\) قرار گرفته است. مختصات \(P\) را به شکل تابعی از شیب (slope) خطی که \(P\) را به مبدأ مختصات (origin) متصل می کند، بیان کنید.

پاسخ کوتاه:

مختصات نقطۀ \(P\) به شکل تابعی از شیب خطی که \(P\) با مبدأ مختصات می سازد: \(P(m) = \biggl( \frac{1}{m^2}, \frac{1}{m} \biggr)\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• شیب خط و روش های محاسبۀ آن

راه حل 1:

برای درک بهتر این مسأله به تصویر زیر نگاه کنید، در این تصویر نقطۀ \(P\) و همینطور خطی که این نقطه با مبدأ مختصات می سازد، نمایان است. توجه داشته باشید که نقطۀ \(P\) بر هر جای دیگری روی این تابع می تواند باشد:


از آنجا که نقطۀ \(P\) بر روی تابع \(f(x)=\sqrt{x}\) قرار دارد، مختصات آن را می توان به شکل \(\biggl( x , \sqrt{x} \biggr)\) نشان داد.

یکی از نیازمندی های ما برای حل این مسأله دانستن شیب خطی است که نقطۀ \(P\) با مبدأ مختصات می سازد. از آنجا که ما مختصات دو نقطه بر روی این خط را داریم می توانیم به راحتی با فرمول \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) شیب این خط را بدست آوریم:
مختصات نقاط معلوم بر روی این خط عبارت از مبدأ مختصات \((0,0)\) و مختصات نقطۀ \(P\) یعنی \(\biggl( x , \sqrt{x} \biggr)\) می باشند. بنابراین این مقادیر را در فرمول شیب خط جایگذاری می کنیم:
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\sqrt{x} - 0}{x -0} = \frac{\sqrt{x}}{x}$$
تا اینجا مشخص شد که شیب این خط \(\frac{\sqrt{x}}{x}\) می باشد، در اینجا با یک ترفند این مقدار را زیباتر می کنیم. صورت و مخرج این کسر را در \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) که معادل \(1\) می باشد، ضرب می کنیم:
$$\frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
حالا با داشتن رابطۀ \(m = \frac{1}{\sqrt{x}}\) کار را ساده تر دنبال می کنیم. مسأله از ما خواسته است که مختصات \(P\) را به لحاظ شیب خط مورد نظر بیان کنیم، با کمی دستکاری در این رابطه به رابطۀ زیر می رسیم:
$$m = \frac{1}{\sqrt{x}} \\
\sqrt{x} = \frac{1}{m} $$
الان یکی از پاسخ ها را داریم، به سراغ مقدار \(x\) به لحاظ شیب خط می رویم، با مربع کردن دو طرف معادلۀ بالا به این نتیجه دست می یابیم:
$$\biggl( \sqrt{x} \biggr)^2 = \biggl( \frac{1}{m} \biggr)^2 \\
x = \frac{1}{m^2}$$
بنابراین مختصات نقطۀ \(P\) بر روی تابع \(f(x)=\sqrt{x}\) به لحاظ شیب خطی که این نقطه با مبدأ مختصات می سازد عبارت از \(\biggl( \frac{1}{m^2} , \frac{1}{m} \biggr) \) می باشد، آن را به شکل تابع می نویسیم:
$$P(m) = \biggl( \frac{1}{m^2} , \frac{1}{m} \biggr) $$