در این تمرین طول لبۀ یک مکعب مربع، مساحت رویۀ آن، و حجم آن را به شکل تابعی از طول قطر آن بیان می کنیم. برای حل این تمرین ضرورت دارد که با مفاهیم مکعب مستطیل و مکعب مربع، قطر مکعب و تفاوت آن با قطر وجه مکعب، چگونگی یافتن قطر مکعب با استفاده از قضیۀ فیثاغورث و قطر وجه آن، مساحت رویۀ مکعب و فرمول محاسبۀ آن، و حجم مکعب و فرمول آن آشنا باشید، که البته تمامی این مفاهیم در همین درس به طور کامل تشریح شده اند.

سوال:

طول لبۀ یک مکعب مربع (cube) را به شکل تابعی از طول قطر آن مکعب مربع \((d)\) بیان کنید. سپس مساحت رویه (surface area) و حجم (volume) آن مکعب مربع را به شکل تابعی از طول قطرش بیان کنید.

پاسخ کوتاه:

طول لبۀ یک مکعب مربع \((a)\) به شکل تابعی از طول قطر \((d)\) آن مکعب مربع: \(a(d) = \frac{d\sqrt{3}}{3}\)
مساحت رویۀ یک مکعب مربع \((A)\) به شکل تابعی از طول قطر \(d\) آن مکعب مربع: \(A(d)=2d^2\)
حجم یک مکعب مربع \((V)\) به شکل تابعی از طول قطر \((d)\) آن مکعب مربع: \(V(d)= \frac{d^3\sqrt{3}}{9}\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• مکعب مستطیل و مکعب مربع

راه حل 1:

اگر به توضیحات ارائه شده در قسمت "راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین" دقت کرده باشید، هم اکنون خودتان می توانید این مسأله را به سادگی حل کنید. در قسمت "چگونه قطر یک مکعب را بیابیم؟" توضیح دادیم که چگونه می توانید با دوبار استفاده از قضیۀ فیثاغورث قطر مکعب مربعی را که یک طول آن برابر با \(4 \text{ CM}\) است، بیابید. اینجا هم همان روش را می رویم، منتهی دیگر از مقادیر ثابت خبری نیستند و از متغیرها و جبر برای حل مسأله استفاده می کنیم. برای کمک به حل مسأله تصویر زیر را در نظر بگیرید:

ابتدا مثلث \(HCD\) را در نظر بگیرید. آن یک مثلث قائم الزاویۀ با ساق های \(a = HD\) و \(a = DC\) و وتر \(d = HC\) می باشد. با استفاده از قضیۀ فیثاغورث داریم:
$$a^2 + a^2 = d^2 \\
2a^2 = d^2 \\
\sqrt{2a^2} = d\\
a\sqrt{2} = d$$
حالا مثلث \(HCE\) را در نظر بگیرید. آن یک مثلث قائم الزاویه با ساق های \(a=HE\) و \(b = HC\) و وتر \(d = EC\) می باشد. دوباره از قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنیم، و البته مقادیر بدست آمده در بخش اول مسأله را در آن جایگذاری می کنیم:
$$a^2 + b^2 = d^2 \\
a^2 + \bigl( a\sqrt{2} \bigr)^2 = d^2 \\
a^2 + 2a^2 = d^2 \\
3a^2 = d^2 \\
a^2 = \frac{d^2}{3} \\
a = \sqrt{\frac{d^2}{3}} \\
a = \frac{d}{\sqrt{3}}$$
بنابراین طول لبۀ یک مکعب مربع، یعنی \(a\)، به شکل تابعی از طول قطر آن، یعنی \(d\)، برابر است با:
$$a(d)=\frac{d}{\sqrt{3}}$$
می توانیم با استفاده از تکنیک گویا کردن مخرج کسر، رادیکال را از مخرج نیز حذف کنیم که در این حالت به پاسخ زیر می رسیم که دقیقاً مشابه پاسخ اول است:
$$\frac{d}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3} \\
a(d) = \frac{d\sqrt{3}}{3} $$
می دانیم که مساحت یک مکعب مربع را می توانیم با فرمول \(A=6a^2\) محاسبه کنیم. کافیست مقدار بدست آمده در بخش اول مسأله را در این فرمول جایگذاری کرده و پاسخ را ساده سازی کنیم:
$$A=6a^2 \\
A = 6\biggl( \frac{d}{\sqrt{3}} \biggr)^2 \\
A = 6 \biggl( \frac{d^2}{3} \biggr) \\
A = 2d^2$$
بنابراین مساحت رویۀ یک مکعب مربع، یعنی \(A\)، به شکل تابعی از طول قطر آن، یعنی \(d\)، برابر است با:
$$A(d)=2d^2$$
می دانیم که حجم یک مکعب مربع با فرمول \(V=a^3\) محاسبه می شود. کافیست مقدار بدست آمده در بخش اول مسأله را در این فرمول جایگذاری کرده و پاسخ را ساده سازی کنیم:
$$V=a^3 \\
V=\biggl( \frac{d}{\sqrt{3}} \biggr)^3 \\
V = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}$$
بنابراین حجم یک مکعب مربع، یعنی \(V\)، به شکل تابعی از طول قطر آن، یعنی \(d\)، برابر است با:
$$V(d)=\frac{d^3}{3\sqrt{3}}$$
از آنجا که در مخرج این کسر، رادیکال قرار دارد، می توانیم با گویا کردن مخرج کسر، پاسخ را زیباتر کنیم و رادیکال را به صورت آن منتقل کنیم:
$$\frac{d^3}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{d^3\sqrt{3}}{9} \\
V(d)= \frac{d^3\sqrt{3}}{9}$$