در این تمرین دامنۀ طبیعی یک تابع را پیدا می کنیم و سپس نمودار آن را ترسیم می کنیم. طی این تمرین در مورد تفاوت دامنۀ طبیعی و دامنه اطلاعات مفیدی را کسب می کنید. ضمن اینکه نگاه مختصری هم به مفهوم چندجمله ایها می اندازیم و متوجه می شویم که دامنۀ چندجمله ایها شامل تمامی اعداد حقیقی می باشند. از آنجا که تابع ارائه شده در این تمرین یک چندجمله ایِ درجه دوم می باشد، بحث های تکمیلی در مورد توابع درجه دوم نیز در اینجا ارائه شده اند. همچنین در مورد شکل استاندارد و شکل رأس از توابع درجه دوم اطلاعات تکمیلی بسیار مفیدی ارائه شده اند.

سوال:

دامنۀ طبیعی تابع زیر را بیابید و نمودار آن را ترسیم کنید:

$$f(x) = 1 - 2x - x^2$$

پاسخ کوتاه:

دامنۀ طبیعی تابع: \((-\infty,\infty)\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

• تفاوت دامنۀ طبیعی (natural domain) و دامنه (domain)
• تابع چند جمله ای (polynomial)
• معادلۀ توابع درجه دوم (Graphs of Quadratic Functions)
• ویژگی های سهمی ها (Features of Parabolas)
• ترسیم نمودار معادلات درجه دوم در شکل رأس (Vertex Form)
• ترسیم نمودار معادلات درجه دوم در شکل استاندارد
• تبدیل شکل استاندارد به شکل رأس در تابع درجه دوم
• ترسیم نمودار یک تابع درجه دوم در شکل رأس

راه حل 1:

تابع \(f(x) = 1 - 2x - x^2\) یک چندجمله ای درجه دوم می باشد و ما می دانیم که دامنۀ طبیعی توابع چندجمله ای شامل تمامی اعداد حقیقی می باشند، پس دامنۀ طبیعی این تابع \((-\infty,\infty)\) می باشد. حتی اگر چندجمله ای بودن این تابع را نیز لحاظ نکنید، از آنجا که در این تابع نه کسری داریم که احیاناً \(0\) در مخرج آن قرار بگیرد و نه رادیکالی داریم که احیاناً مقدار زیر رادیکال منفی شود، پس دامنۀ این تابع شامل تمام اعداد حقیقی می باشد.

تابع \(f(x) = 1 - 2x - x^2\) یک تابع درجه دوم می باشد. ترتیب درجه های آن را مرتب می کنیم تا به شکل استاندارد \(y = ax^2 + bx + c\) در آید.
$$
y = ax^2 + bx + c \\
y = - x^2 - 2x +1
$$
برای ترسیم نمودار این تابع ابتدا آن را در شکل رأس، یعنی \(y=a(x-h)^2 +k\)، بازنویسی می کنیم. اگر برای این تبدیل نیاز به آموزش دارید اینجا کلیک کنید. ما برای این تبدیل از روش کامل کردن مربع استفاده می کنیم.
$$
y = - x^2 - 2x +1 \\
y -1 = - x^2 - 2x \\
y -1 = -(x^2 + 2x) \\
y -1 + (-1)(\text{___}) = -(x^2 + 2x + \text{___}) \\
y -1 + (-1)(\color{red}{1}) = -(x^2 + 2x + \color{red}{1}) \\
y -1 -1 = -(x^2 + 2x + 1) \\
y - 2 = -(x^2 + 2x + 1) \\
y - 2 = -(x + 1)^2 \\
y = -(x + 1)^2 + 2
$$
حالا از روی شکل رأس این تابع نمودار آن را ترسیم می کنیم. روش ترسیم نمودار یک تابع درجه دوم از روی شکل رأس آن را در اینجا توضیح داده ایم.
می دانیم که رأس این تابع درجه دوم \((h,k)\) می باشد، پس رأس \((-1,2)\) است. محور تقارن آن نیز \(x=h\)، یعنی \(x=-1\) است. حالا کافیست یک یا دو نقطه در سمت راست یا چپ نمودار را با روش جایگذاری مقادیر \(x\) در تابع بدست آوریم. ما از \(x=0\) و \(x=1\) که در سمت راست محور تقارن می باشند، استفاده می کنیم:
$$
f(0)= -(0 + 1)^2 + 2 = -(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1 \\
f(1) = -(1+1)^2 + 2= -(2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \\
(0,1), (1,-2)
$$
با داشتن مختصات این دو نقطه و دانستن این مطلب که نمودار توابع درجه دوم متقارن می باشند، می توانیم دو نقطۀ متقارن آنها را نیز به سادگی بیابیم. نمودار این تابع را در تصویر زیر می توانید ببینید:

برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک کنید