در این تمرین مساحت یک مربع را به شکل تابعی از طول قطر آن بیان می کنیم. برای حل این مسأله از فرمول مساحت مربع، و قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنیم. همچنین طی فرآیند حل مسأله و در عملیات جبری آن از تکنیک گویا کردن مخرج کسر نیز استفاده کرده ایم که در همانجا توضیحات لازم نیز راجع به آن ارائه شده است.

سوال:

طول ضلع یک مربع را به شکل تابعی از طول قطر (diagonal) آن مربع \((d)\) بیان کنید. سپس مساحت آن را به شکل تابعی از طول قطرش بیان کنید.

پاسخ کوتاه:

طول ضلع مربع به شکل تابعی از طول قطر آن: \(a(d)=\frac{d\sqrt{2}}{2}\)
مساحت مربع به شکل تابعی از طول قطر آن: \(A(d) = \frac{d^2}{2}\)

راه حل 1:

مربع زیر را در نظر بگیرید.


نصف این مربع را در نظر بگیرید، که می شود مثلث قائم الزاویۀ \(BCD\). در این مثلث \(BD\) وتر و \(BC\) و \(DC\) ساق های مثلث قائم الزاویه می باشند. از آنجا که این یک مربع است و ساق ها با هم برابرند، آنها را \(a\) در نظر می گیریم، وتر نیز برابر با قطر مربع است و آن را \(d\) فرض می کنیم. با استفاده از قضیۀ فیثاغورث داریم:
$$a^2 + a^2 = d^2 \\
2a^2 = d^2 \\
a^2 = \frac{d^2}{2} \\
a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$

در نتیجه طول ضلع این مربع به لحاظ طول قطرش در فرمول زیر نشان داده شده است:
\(a = \frac{d\sqrt{2}}{2}\)
از آنجا که مسأله این را در شکل تابعی از قطر می خواهد پاسخ آن این می شود:
$$a(d)=\frac{d\sqrt{2}}{2}$$

حالا سراغ بخش دوم مسأله می رویم. یعنی می خواهیم مساحت مربع را به شکل تابعی از طول قطر آن بیان کنیم. می دانیم که مساحت مربع برابر با \(A=a^2\) می باشد. با جایگزینی عدد حاصل در بخش قبلی مسأله در این فرمول به نتیجۀ مطلوبمان می رسیم:
$$A=a^2 \\
A= \biggl( \frac{d\sqrt{2}}{2} \biggr)^2 = \frac{2d^2}{4} = \frac{d^2}{2}$$
حالا این نتیجه را به شکل تابعی از قطر بیان می کنیم:
$$A(d) = \frac{d^2}{2}$$