اگر \(x+2,2x+1,4x-3\) سه جملۀ متوالی از یک دنبالۀ هندسی باشند، مقدار قدرنسبت و مقدار این سه جمله را تعیین کنید.

پاسخ

برای بدست آوردن مقدار \(x\) از روابط موجود در جملات متوالیِ دنباله های هندسی استفاده می کنیم:
$$
x+2,2x+1,4x-3\\
\frac{2x+1}{x+2} = \frac{4x-3}{2x+1}\\
\text{طرفین وسطین می کنیم: }\\
(2x+1)(2x+1)=(x+2)(4x-3)\\
4x^2+2x+2x+1=4x^2-3x+8x-6\\
4x^2+4x+1=4x^2+5x-6\\
4x^2+4x-4x^2-5x=-6-1\\
-x=-7\\
x=7
$$
حالا که مقدار \(x\) را بدست آوردیم با جایگذاری آن در تک تک جملات دنباله مقدار آنها را ارزیابی می کنم، همچنین قدر نسبت را با تقسیم دو جملۀ متوالی بر روی یکدیگر بدست می آوریم:
$$
x+2=7+2=9\\
2x+1=2(7)+1=15\\
4x-3=4(7)-3=25\\
\text{ }\\[2ex]
r=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}
$$