تمرین 19: دنبالۀ هندسی، استفادۀ کاربردی

کار اصلی کلیه های ما اینست که ناخالصی ها را از خون ما پاک کنند و در واقع آن را تصفیه کنند. پزشکان هنگام تجویز دوز و فراوانی دارو این موضوع را در نظر می گیرند. کلیه های یک شخص حدود $18\%$ از یک داروی خاص را در هر $2$ ساعت تصفیه می کنند.

اگر دوز اولیه $250$ میلی لیتر باشد، بعد از $12$ ساعت چه میزان از این دارو در بدن شخص باقی می ماند؟ پاسختان را به نزدیکترین دهم میلی لیتر بیان کنید.
هنگامی که میزان دارو در بدن به کمتر از $20 \text{ mL}$ برسد، آن دارو بی اثر می شود و دوز دیگری از آن مورد نیاز می باشد. این اتفاق بعد از چند ساعت می افتد؟

آیا می دانستید؟
هر روز کلیه های یک شخص چیزی در حدود $190$ لیتر از خون او را پردازش می کنند تا در حدود $1.9$ لیتر مواد زائد و آب اضافی را از آن بیرون کنند.

پاسخ

اولین نکته در حل این مسأله اینست که از ما خواسته شده است که میزان داروی باقی مانده را به عنوان پاسخ بیان کنیم اما در داده های مسأله میزان داروی تصفیه شده را به ما داده است. همینجا یک محاسبه نیاز داریم تا $r$ را بدرستی بدست آوریم. وقتی $18\%$ از دارو تصفیه می شود یعنی میزان باقیماندۀ دارو در بدن برابر با $100\%-18\%=82\%$ است که با تبدیل آن به اعشار به $82\% = 0.82$ می رسیم.

حالا تقریباً همۀ پارامترهای لازم برای حل مسأله را داریم، فقط به چند نکته توجه کنید:
- نکتۀ اول اینکه مسأله $12$ ساعت را به عنوان $n$ به ما داده است، اما در داده های آن گفته شده است که این درصد تصفیه مربوط به هر دو ساعت یکبار است، این مورد را باید دقت کنید و $12$ را تقسیم بر $2$ کنید تا $6$ ساعت بدست آید.
- نکتۀ دوم اینکه مسأله گفته بعد از $12$ ساعت چه میزان دارو در بدن شخص باقی می ماند، این یعنی ما باید $2$ ساعت بعد از آن را ملاک بگیریم، یعنی $t_7$ آن چیزی است که دنبالش هستیم.
- همانطور که متوجه شدید نکات ریزی در داده های مسأله وجود داشتند که عدم رعایت هر کدام از آنها می تواند شما را به پاسخ اشتباهی برساند.
$$
t_1=250\\
r=0.82\\
n=7\\
t_n=t_1 r^{n-1}\\
t_7=250 (0.82)^{7-1}=250 (0.82)^6 \approx 76.0
$$
$$
t_n=20\\
t_1=250\\
r=0.82\\
t_n=t_1 r^{n-1}\\
20=250 (0.82)^{n-1}\\
\frac{20}{250} = 0.82^{n-1}
$$
به نقطه ای رسیدیم که چاره ای جز استفاده از لگاریتم یا روش حدس و درست آزمایی حدس ها نداریم. با روش حدس و درست آزمایی به مقادیر زیر می رسیم:
$$
t_{13}=250(0.82)^{12} \approx 23.1\\
t_{14}=250(0.82)^{13} \approx 18.9\\
$$
پاسخ $t_{13}$ است، زیرا مسأله می پرسد بعد از آن زمان میزان دارو به زیر $20 \text{ mL}$ می رسد که این قضیه در مورد $t_{13}$ صدق می کند. فقط دقت کنید که مسأله می گوید بعد از چند ساعت، و این دوره ها دو ساعته هستند، آن را در دو ضرب می کنیم تا تعداد ساعت ها بدست آید، بعد از $26$ ساعت میزان دارو در بدن به کمتر از $20 \text{ mL}$ می رسد.