نویسنده : امیر انصاری

1. مساحت ناحیۀ قرمز شده در این مربع چقدر می باشد؟ آن را به نزدیکترین صدم سانتیمتر مربع بیان کنید.
   
   
   
2. اگر مربع دیگری با یک دایرۀ محاط شده، در اطراف مربع اصلی ترسیم شود، مساحت ناحیۀ آبی چقدر خواهد بود؟ آن را به نزدیکترین صدم سانتیمتر مربع بیان کنید.
   
   
   
3. اگر مربع دیگری با یک دایرۀ محاط شده، در اطراف مربع دوم ترسیم شود، مساحت ناحیۀ نارنجی چقدر خواهد بود؟ آن را به نزدیکترین صدم سانتیمتر مربع بیان کنید.
   
   
   
4. اگر این الگو ادامه یابد، مساحت ناحیۀ رنگی در مربع هشتم چقدر خواهد بود؟ آن را به نزدیکترین صدم سانتیمتر مربع بیان کنید.
   

پاسخ

1. برای اینکه مساحت ناحیۀ قرمز رنگ را بیابیم ابتدا مساحت مربع و دایره را بدست می آوریم و سپس مساحت دایره را از مساحت مربع تفریق می کنیم تا به پاسخ برسیم.
   مساحت مربع:
   $$
   A= s^2\\
   A=2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت دایره:
   $$
   A=\pi r^2\\
   A=(3.14159)(1)^2=3.14159 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت ناحیۀ قرمز رنگ:
   $$
   4-3.14159 \approx 0.86 \text{ cm}^2
   $$
   
2. وقتی مربعی در داخل دایره ای محاط می شود، قطر آن مربع با قطر دایره برابر خواهد بود. ضمن اینکه دو مثلث قائم الزاویه ای که از طریق ترسیم قطر مربع تشکیل می شوند، هر دو مثلث های \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) می باشند که اندازۀ قطرهای آنها دارای نسبت مشخصی می باشند. از همین اصول برای بدست آوردن قطر مربع که در واقع قطر دایره نیز می باشد استفاده می کنیم.
   
   
   در اینجا می دانیم که در مربع ما \(a=2 \text{ cm}\) است. پس قطر مربع و دایره برابر با \(2\sqrt{2}\) خواهد بود.
   توجه کنید که اگر از نسبت های موجود در مثلث \(45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\) هم استفاده نمی کردید، می توانستید با قضیۀ فیثاغورث نیز به این مقدار برسید.
   
   حالا که پارامترهای لازم را داریم می توانیم مشابه قسمت \(\text{a}\) ابتدا مساحت مربع و دایره را بدست آوریم و سپس مساحت مربع را از مساحت دایره کم کنیم تا مساحت ناحیۀ آبی رنگ بدست آید. دقت کنید که قطری که اندکی پیش بدست آوردیم در تصویر اصلی مسأله خط سبزرنگ برجسته شده در تصویر زیر می باشد. این قطر برای ما دو مقدار کلیدی را به همراه دارد، اول اینکه نصف آن می شود شعاع دایره ای که می خواهیم مساحتش را بدست آوریم، دوم اینکه این قطر برابر با ضلع مربعی که دنبال مساحتش هستیم نیز می باشد.
   
   اندازۀ این قطر \(2\sqrt{2}\) می باشد.
   
   مساحت مربع:
   $$
   A=s^2\\
   A=(2\sqrt{2})^2=8 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت دایره:
   $$
   A=\pi r^2\\
   r=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\\
   A=(3.14159)(\sqrt{2})^2=(3.14159)(2) \approx 6.28 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت ناحیۀ آبی رنگ:
   $$
   8-6.28=1.72 \text{ cm}^2
   $$
   
3. استراتژی حل این قسمت دقیقاً مشابه قسمت \(\text{b}\) است. قطری از مربع که کلید حل مسأله است در تصویر زیر نشان داده شده است.
   
   اندازۀ این قطر برابر با \(4 \text{ cm}\) می باشد.
   
   مساحت مربع:
   $$
   A=s^2\\
   A=4^2=16 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت دایره:
   $$
   A=\pi r^2\\
   r=\frac{4}{2}=2\\
   A=(3.14159)(2)^2=(3.14159)(4) \approx 12.57 \text{ cm}^2
   $$
   مساحت ناحیۀ نارنجی رنگ:
   $$
   16-12.57=3.43 \text{ cm}^2
   $$
   
4. اگر این الگو ادامه یابد یک دنبالۀ هندسی خواهیم داشت:
   $$
   0.86,1.72,3.43,...\\
   t_1=0.86\\
   r=\frac{1.72}{0.86}=2\\
   t_n=t_1 r^{n-1}\\
   t_n =0.86 (2)^{n-1}\\
   t_8=0.86(2)^{8-1}\\
   t_8=0.86(2)^7\\
   t_8=0.86(128)\\
   t_8=110.08 \text{ cm}^2
   $$