در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A}=30^{\circ}\)، \(a=24 \text{ cm}\)، و \(b=42 \text{ cm}\). اندازۀ ضلع دیگر و زاویه های دیگر را تعیین کنید. پاسخ هایتان را به نزدیکترین واحد گرد کنید.

پاسخ

اندازه ها را لیست کنید.
$$
\angle{A}=30^{\circ},a=24 \text{ cm}\\
\angle{B}=\text{__},b=42 \text{ cm}\\
\angle{C}=\text{__},c=\text{__}
$$
از آنجا که دو ضلع و یک زاویۀ روبروی یکی از آن اضلاع معلوم هستند، ممکن است که این مثلث دو پاسخ مختلف یا یک پاسخ داشته باشد و یا اینکه هیچ پاسخی نداشته باشد. \(\angle{A}\) حاده است و \(a \lt b\)، بنابراین بررسی می کنیم که کدام شرط برقرار است.
$$
a < b \sin A: \text{ بدون پاسخ }\\
a = b \sin A: \text{ یک پاسخ }\\
a \gt b \sin A: \text{ دو پاسخ }
$$
یک طرح ممکن را بکشید.


ارتفاع این مثلث را تعیین کنید.
$$
\sin A = \frac{h}{b}\\
h=b \sin A\\
h = 42 \sin 30^{\circ}\\
h = 42 \cdot \frac{1}{2}\\
h = 21
$$
از آنجا که \(24 \gt 21\)، حالت \(a \gt b \sin A\) رخ می دهد.

بنابراین، دو مثلث می تواند با این اندازه ها ایجاد شود. در دومین پاسخ \(\angle{B}\) یک زایۀ منفرجه (obtuse angle) خواهد بود.
با استفاده از قانون سینوس \(\angle{B}\) را بدست آورید.
$$
\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}\\
\frac{\sin B}{42}=\frac{\sin 30^{\circ}}{24}\\
\sin B = \frac{42 \sin 30^{\circ}}{24}\\
\angle{B} = \sin^{-1} \biggl( \frac{42 \sin 30^{\circ}}{24} \biggr)\\
\angle{B} = 61.044...
$$
به نزدیکترین درجه خواهیم داشت: \(\angle{B} = 61^{\circ}\)

برای بدست آوردن دومین اندازۀ ممکن برای \(\angle{B}\)، از \(61^{\circ}\) به عنوان زاویۀ مرجع در ربع صفحۀ دوم استفاده کنید. آن گاه خواهید داشت: \(\angle{B}=180^{\circ}-61^{\circ}=119^{\circ}\)

حالت اول: \(\angle{B} = 61^{\circ}\)
$$
\angle{C} = 180^{\circ}-(61^{\circ}+30^{\circ})=89^{\circ}
$$
$$
\frac{c}{\sin 89^{\circ}} = \frac{24}{\sin 30^{\circ}}\\
c=\frac{24 \sin 89^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\\
c= 47.992...
$$
حالت دوم: \(\angle{B}=119^{\circ}\)
$$
\angle{C} = 180^{\circ} - (119^{\circ}+30^{\circ})=31^{\circ}
$$
$$
\frac{c}{\sin 31^{\circ}} = \frac{24}{\sin 30^{\circ}}\\
c= \frac{24 \sin 31^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\\
c=24.721...
$$
دو مثلث ممکن به شرح زیر می باشند:

مثلث حادۀ \(\triangle{ABC}\):
\(\angle{A}=30^{\circ}\)، \(\angle{B}=61^{\circ}\)، \(\angle{C}=89^{\circ}\)
\(a= 24 \text{ cm}\)، \(b = 42 \text{ cm}\)، \(c= 48 \text{ cm}\)

مثلث منفرجۀ \(\triangle{ABC}\):
\(\angle{A}= 30^{\circ}\)، \(\angle{B} = 119^{\circ}\)، \(\angle{C}= 31^{\circ}\)
\(a=24 \text{ cm}\)، \(b=42 \text{ cm}\)، \(c= 25 \text{ cm}\)

حالا نوبت شماست

در \(\triangle{ABC}\)، \(\angle{A} = 39^{\circ}\)، \(a= 14 \text{ cm}\)، و \(b=10 \text{ cm}\)
اندازۀ ضلع دیگر و دو زاویۀ دیگر این مثلث را بدست آورید. پاسختان را به نزدیکترین واحد بیان کنید.