"آرماند" (Armand) در سفرش به جزیرۀ سامرست (Somerset Island) در ایالت نوناووت (Nunavut)، در نزدیکیِ فورت راس (Fort Ross) به یک تور آموزنده پیوست. در حین اولین توقف این گروه، آرماند تل سنگی را در بالای یک تپه، در فاصله ای \(500 \text{ m}\) دورتر، نشان کرد. دومین توقف این گروه در پایین آن تپه بود. آن تل سنگ تا این نقطه \(360 \text{ m}\) فاصله داشت. زاویۀ بین آن تل سنگ، اولین توقف آرماند، و توقف دوم او \(35^{\circ}\) است.

1. توضیح دهید چرا برای دومین محل توقف آرماند دو محل ممکن داریم.
   
2. طرحی بکشید که هر محل ممکن را نشان دهد.
   
3. مسافت های ممکن بین محل اولین توقف و دومین توقف آرماند را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. از آنجا که \(a \lt b (360 \lt 500)\) و \(a \gt b \sin A (360 \gt 500 \sin 35^{\circ})\) ، برای این مثلث دو پاسخ ممکن است.
   
   
2. 
   
   \(\text{first stop}\): محل اولین توقف
   \(\text{second stop}\): محل دومین توقف
   \(\text{cairn}\): تل سنگ
   
   
   
3. $$
   \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}\\
   \frac{\sin B}{500} = \frac{\sin 35}{360}\\
   \sin B = \frac{500 \sin 35^{\circ}}{360}\\
   \angle{B} = \sin^{-1} \biggl( \frac{500 \sin 35^{\circ}}{360} \biggr)\\
   \angle{B} \approx 52.8^{\circ} \\
   \angle{B} = 180 - 52.8^{\circ} = 127.2^{\circ}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \text{if } \angle{B} = 52.8^{\circ}\\
   \angle{C} = 180^{\circ} - 52.8^{\circ} - 35^{\circ} = 92.2^{\circ}\\
   \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}\\
   \frac{c}{\sin 92.2^{\circ}} = \frac{360}{\sin 35^{\circ}}\\
   c \approx 627.2 \text{ m}\\
   \text{ }\\[2ex]
   \text{if } \angle{B} = 127.2^{\circ}\\
   \angle{C} = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 127.2^{\circ} = 17.8^{\circ}\\
   \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}\\
   \frac{c}{\sin 17.8^{\circ}} = \frac{360}{\sin 35^{\circ}}\\
   c \approx 191.9 \text{ m}
   $$