روزانه حدود \(12\) نشت نفت در کانادا گزارش می شود که در هر مورد چیزی حدود \(4000 \text{ L}\) یا بیشتر نشتی وجود دارد. نشتی های نفت، مانند چیزی که بعد از، از خط خارج شدن قطار در نزدیکی دریاچۀ وابامون (Wabamun Lake) در آلبرتا رخ داد، می تواند منجر به آسیب های بلند مدت زیست محیطی شود. برای مهار نشت نفت، بشکه های شناور در آب قرار داده می شوند. فرض کنید برای تمیز کردن \(734,000 \text{ L}\) نفت در دریاچۀ وابامون، بشکه های شناور مورد استفاده قرار گرفته، تقریباً یک مثلث منفرجه با اندازه های نشان داده شده در زیر را ایجاد کرده باشند. مساحت نشت نفت در دریاچۀ وابامون را تعیین کنید.

پاسخ

رأس های این مثلث را به شکل زیر نامگذاری می کنیم.


برای محاسبۀ مساحت مثلث می توانیم از فرمول مساحت مثلث \(A_{\triangle{}}=\frac{1}{2} bh\) استفاده کنیم.
برای این منظور نیاز داریم تا ارتفاع مثلث را بدست آوریم. ارتفاع مثلث برابر با \(h = b \sin A\) می باشد، پس قبل از آن باید مقادیر \(b\) و \(\sin A\) را نیز بدست آوریم:
$$
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}\\
\frac{\sin A}{4.6}=\frac{\sin 102^{\circ}}{8.5}\\
\sin A=\frac{4.6 \sin 102^{\circ}}{8.5}\\
\angle{A} = \sin^{-1} \biggl( \frac{4.6 \sin 102^{\circ}}{8.5} \biggr)\\
\angle{A} \approx 32^{\circ}\\
\text{ }\\[2ex]
\angle{B} = 180^{\circ} - 102^{\circ} - 32^{\circ} = 46^{\circ} \\
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\\
\frac{b}{\sin 46^{\circ}} = \frac{8.5}{\sin 102^{\circ}}\\
b \approx 6.3 \text{ km}\\
\text{ }\\[2ex]
h = b \sin A\\
h = 6.3 \sin 32^{\circ} \\
h \approx 3.3 \text{ km}\\
\text{ }\\[2ex]
A = \frac{1}{2} \cdot 8.5 \text{ km} \cdot 3.3 \text{ km}\\
A \approx 14.0 \text{ km}^2
$$