نقطۀ \(P(2,b)\) بر روی بازوی نهاییِ زاویۀ \(\theta\) در موقعیت استاندارد، قرار دارد. اگر \(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}\) باشد و \(\tan \theta\) منفی باشد، مقدار \(b\) چه می باشد؟

پاسخ

$$
\cos \theta = \frac{x}{r}= \frac{1}{\sqrt{10}} \to x=1, r = \sqrt{10}\\
y^2 = r^2 - x^2 \\
y^2 = (\sqrt{10})^2 - 1^2 = 10 - 1 = 9\\
y = \pm \sqrt{9} = \pm 3
$$
از آنجا که نقطۀ \(P(2,b)\) در محور مثبت \(x\) قرار دارد، الزاماً یا در ربع صفحۀ اول و یا در ربع صفحۀ چهارم خواهد بود. از آنجا که در مسأله گفته شده است \(\tan \theta\) منفی است، پس مطمئن می شویم که این نقطه در ربع صفحۀ چهارم قرار خواهد داشت و مقدار \(b\) منفی خواهد بود.
$$
x= 1 , y = -3
$$
ما به مختصات \((1,-3)\) که بر روی بازوی نهاییِ \(\angle{\theta}\) قرار دارد رسیدیم، اما چیزی که مسأله از ما می خواهد مختصات نقطۀ دیگری بر روی همین خط می باشد که آن را \(P(2,b)\) نامیده است. برای این منظور نیاز داریم که معادلۀ این خط را بدست آوریم و سپس با مقدار \(x=2\) مختصات \(y\) متناظر آن را بدست آوریم. برای بدست آوردن معادلۀ خط ابتدا به شیب خط نیاز داریم.
$$
m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\
m = \frac{-3-0}{1-0} = \frac{-3}{1} = -3\\
\text{ }\\[2ex]
y-y_1 = m(x-x_1)\\
y - -3 = -3(x - 1)\\
y+3=-3x+3\\
y = -3x+3-3\\
y = -3x
$$
معادلۀ این خط \(y=-3x\) می باشد، پس:
$$
x=2\\
y=-3(2) =-6\\
b= -6 \to P(2,-6)
$$