تمرین 8: دنباله ها و سری ها

"تریستان" (Tristan) و "جولی" (Julie) در حال آماده کردن یک پوستر ریاضی برای روز بازدید از مدرسه می باشند. هر دوی این دانش آموزان پوستری ایجاد کرده اند تا در مورد این سوال مناظره کنند: آیا $0.999...=1$ می باشد؟

پوستر جولی
$0.999... \ne 1 \\
0.999... = 0.999 999 999 999 9...$
این عدد اعشاری تا بی نهایت ادامه می یابد و هرگز دقیقاً به یک نمی رسد.

پوستر تریستان
$0.999... = 1$
$0.999...$ را در شکل بسط یافته بازنویسی کنید.
$\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+...$
این می تواند به شکل یک سری هندسی بازنویسی شود که در آن $t_1=\frac{9}{10}$ و $r=$ است.

با تعیین مقدار قدر نسبت و سپس یافتن جمع این سری هندسیِ بی نهایت، پوستر تریستان را کامل کنید.
فکر می کنید کدام دانش آموز به درستی پاسخ این سوال را داده است؟

پاسخ

$$
r=\frac{\frac{9}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{9}{100} \times \frac{10}{9} = \frac{1}{10}\\
S_{\infty} = \frac{t_1}{1-r}\\
S_{\infty} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1
$$
کریستان پاسخ صحیح را داده است: $0.999...=1$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی