رویداد "Les Jeux de la Francophonie Canadienne" (نام این رویداد فرانسوی است) هر تابستان برای جشن گرفتن ورزش، رهبری، و فرهنگ فرانسوی برگزار می شود. یکی از رویدادهای مهم در این سری بازیها بدمینتون می باشد. در رقابت های یک نفرۀ مردان، \(64\) شرکت کننده وجود دارد. در هر بازی دو بازیکن وجود دارد و فقط برنده به دور بعدی می رود. تعداد شرکت کننده ها در هر دور از مسابقات یک دنبالۀ هندسی را مدل سازی می کند.

1. چهار جملۀ اول از این دنبالۀ هندسی را بنویسید.
   
2. جملۀ عمومی این دنباله، که برای تعیین تعداد بازیکن ها در هر دور از این تورنمت می تواند مورد استفاده قرار بگیرد را بنویسید.
   
3. برای اینکه برندۀ تورنمت یک نفرۀ مردان مشخص گردد، چند بازی باید انجام شود؟
   

پاسخ

1. از آنجا که از هر مسابقه یک نفر به دور بعدی می رود، تعداد شرکت کننده ها در هر دور نصف تعداد دور قبلی می باشد، به زبان دنباله ها یعنی قدر نسبت این دنباله \(r=\frac{1}{2}\) است:
   $$
   64,32,16,8,...
   $$
   
2. $$
   t_n=t_1 r^{n-1}\\
   t_n= 64 \bigl( \frac{1}{2} \bigr)^n-1
   $$
   
3. تعداد مسابقات دنباله ای شبیه همین دنبالۀ تعداد شرکت کننده ها را تشکیل می دهد، با این تفاوت که تعداد مسابقات از نصف تعداد شرکت کننده ها آغاز می شود، چون در هر مسابقه دو شرکت کننده وجود دارند، این دنباله اینگونه است: \(32,16,8,...\)
   حالا هدف ما اینست که جمع این دنباله را تا جایی حساب کنیم که فقط یک نفر باقی بماند، یعنی \(t_n = 1\) باشد.
   $$
   t_n=1\\
   S_n=\frac{rt_n-t_1}{r-1},r \ne 1\\
   S_n=\frac{(\frac{1}{2})(1)-(38)}{(\frac{1}{2})-1}\\
   S_n = 63
   $$