شما می توانید یک معادلۀ درجه دوم را در شکل استاندار، \(f(x)=ax^2+bx+c\)، یا در شکل رأس، \(f(x)=a(x-p)^2+q\)، نشان دهید. شما می توانید از روی مقدار \(a\) در هر دو شکل، شکل نمودار و جهت باز شدن آن را تعیین کنید. شکل رأس دارای این مزیت است که می توانید مختصات رأس را به شکل \((p,q)\) مستقیماً از روی شکل جبری آن تعیین کنید. اینکه قادر باشید هنگام استفاده از توابع درجه دوم مختصات رأس را به صورت جبری تعیین کنید، برای مدلسازی وضعیت هایی که شامل مقدار مینیمم یا مقدار ماکزیمم هستند، سودمند است.





شما می توانید یک تابع درجه دوم در شکل استاندارد را طی یک عملیات جبری که کامل کردن مربع (completing the square) نام دارد، به شکل رأس آن تبدیل کنید. کامل کردن مربع شامل افزودن یک مقدار به و تفریق یک مقدار از یک چندجمله ای درجه دوم می باشد، به نحوی که شامل یک سه جمله ای مربع کامل گردد. سپس می توانید این سه جمله ای را به شکل مربع یک دوجمله ای بازنویسی کنید.
$$
y=x^2-8x+5
$$
دو جملۀ اول را گروه بندی کنید
$$
y=(x^2-8x)+5
$$
مربعِ نصف مقدار ضریب جملۀ ایکس را هم اضافه کنید و هم تفریق کنید، مثال در اینجا ضریب \(x\) عدد \(8\) است، نصف آن می شود \(4\) و مربع نصف آن می شود \(4^2=16\)، پس در اینجا عدد \(16\) را هم اضافه می کنیم و هم تفریق
$$
y=(x^2+8x+16-16)+5
$$
سه جمله ایِ مربع کامل را در یک گروه قرار می دهیم
$$
y=(x^2+8x+16)-16+5
$$
سه جمله ای را به شکل مربع دوجمله ای بازنویسی می کنیم
$$
y=(x-4)^2-16+5
$$
ساده سازی می کنیم
$$
y=(x-4)^2-11
$$
در مثال بالا، هم شکل استاندار، \(y=x^2-8x+5\)، و هم شکل رأس، \(y=(x-4)^2-11\)، هر دو تابع درجه دوم یکسانی را نشان می دهند. شما می توانید از هر دو شکل برای تعیین اینکه نمودار این تابع رو به سمت بالا باز می شود، استفاده کنید، زیرا در هر دوی آنها \(a=1\) می باشد. با این حال، شکل رأس بدون ترسیم نمودار نیز به ما نشان می دهد که رأس در \((4,-11)\) قرار دارد، بنابراین این تابع دارای مقدار مینیمم \(-11\) در \(x=4\) می باشد.