باغبانی در حال کاشت نخود فرنگی در یک مزرعه می باشد. او می داند که اگر ردیفهای گیاه های نخودفرنگی را نزدیکتر به یکدیگر بکارد، ردیف های بیشتری در مزرعه خواهد داشت، اما در آن صورت توسط گیاهان موجود در هر ردیف، نخودفرنگی های کمتری تولید خواهد شد. سال گذشته او \(30\) ردیف گیاه نخود فرنگی در همین مزرعه کاشت. با این میزان فضاگذاری بین ردیف ها، او از هر ردیف به طور میانگین \(4000 \text{ g}\) نخودفرنگی برداشت کرد. او تخمین می زند که به ازاء هر ردیف اضافی، \(100 \text{ g}\) کمتر از هر ردیف برداشت کند.

1. یک تابع درجه دوم بنویسید که این وضعیت را مدلسازی کند.
   
2. ماکزیمم مقدار نخودفرنگی که می تواند در این مزرعه تولید شود، چند کیلوگرم می باشد؟ چه تعداد ردیف هایی از نخودفرنگی منجر به تولید این میزان ماکزیمم می شوند؟
   
3. در استفاده از این مدل برای پیش بینی تولید این مزرعه، چه پیش فرض هایی را در نظر گرفته اید؟
   

پاسخ

1. اجازه دهید \(n\) نشان دهندۀ تعداد ردیف های کاشته شدۀ اضافی باشد. در آن صورت، تعداد ردیف های جدید برابر با \(30\) ردیف بعلاوۀ تعداد ردیف های اضافی ضربدر \(1\)، یا بعبارتی \(30+n\) خواهد بود.
   میزان محصول جدید به ازاء هر ردیف برابر با \(4000\) گرم منهای تعداد ردیف های اضافی ضربدر \(100\)، یا بعبارتی \(4000-100n\) می باشد. این مقدار در واحد کیلوگرم برابر با \(4-0.1n\) می شود.
   اجازه دهید \(P\) نشان دهندۀ نخودفرنگی های تولید شده در واحد کیلوگرم باشد. در آنصورت:
   $$
   \text{Peas produced} = (\text{yield per row})(\text{number of rows})
   $$
   
   \(\text{Peas produced}\): نخودفرنگی های تولید شده
   \(\text{yield per row}\): محصول تولید شده در هر ردیف
   \(\text{number of rows}\): تعداد ردیف ها
   
   $$
   P=(4-0.1n)(30+n)\\
   P=120+n-0.1n^2\\
   P=-0.1n^2+n+120
   $$
   
2. از روش کامل کردن مربع برای یافتن رأس استفاده می کنیم.
   شکل رأس این تابع:
   $$
   P=-0.1(n-5)^2+122.5
   $$
   ماکزیمم نخودفرنگی تولید شده از این مزرعه برابر با \(122.5 \text{ kg}\) می باشد و در این حالت تعداد ردیف های کاشته شده برابر با \(30+5\) یا \(35\) ردیف می باشند.
   
   
3. پیش فرض ما در استفاده از این تابع اینست که پیش بینی های این باغبان درست از آب در بیایند.