یک برگزار کنندۀ کنسرت در حال برنامه ریزی برای قیمت گذاری چندین کنسرت پیش رو از یک گروه موسیقی خاص می باشد. در آخرین کنسرت این گروه، او قیمت هر بلیط را \($70\) تعیین کرده بود و \(2000\) بلیط فروخت. بعد از انجام یک نظرسنجی، این برگزار کننده دریافت که به ازاء هر \($1\) کاهش در قیمت بلیط، او می تواند انتظار فروش \(50\) بلیط بیشتر را داشته باشد.

1. سقف درآمدی که این برگزار کننده می تواند انتظار داشته باشد، چقدر است؟ چه قیمت بلیطی او را به این سقف درآمدی می رساند؟
   
2. در آن قیمت، این برگزار کننده می تواند انتظار فروش چه تعداد بلیط را داشته باشد؟
   
3. هر نوع پیش فرضی را که این برگزار کننده در استفاده از این تابع درجه دوم برای پیش بینی درآمدش در نظر گرفته است، توضیح دهید.
   

پاسخ

1. تابعی بنویسید که این وضعیت را مدلسازی کند.
   اجازه دهید \(n\) نشان دهندۀ تعداد کاهش در قیمت ها باشد. در آن صورت، قیمت جدید برابر با \($70\) منهای تعداد کاهش قیمت ها ضربدر \($1\) (میزان کاهش قیمت) خواهد بود، یعنی قیمت برابر با \(70-n\) خواهد بود.
   تعداد بلیط های جدید فروخته شده برابر با \(2000\) بعلاوۀ تعداد کاهش قیمتها ضربدر \(50\) خواهد بود، بعبارتی برابر با \(2000+50n\) خواهد بود.
   اجازه دهید \(R\) نشان دهندۀ درآمد مورد انتظار در واحد دلار باشد. در اینصورت:
   $$
   \text{Revenue} = (\text{price})(\text{number of sessions})
   $$
   
   \(\text{Revenue}\): درآمد
   \(\text{price}\): قیمت
   \(\text{number of sessions}\): تعداد بلیط های فروخته شده
   
   $$
   R=(70-n)(2000+50n)\\
   R=140,000+1,500n-50n^2\\
   R=-50n^2+1,500n+140,000
   $$
   از روش کامل کردن مربع برای تعیین شکل رأس این تابع استفاده می کنیم.
   شکل رأس این تابع:
   $$
   R=-50(n-15)^2+151,250
   $$
   ماکزیمم درآمدی که این برگزارکنندۀ کنسرت می تواند انتظار داشته باشد برابر با \($151,250\) می باشد و زمانی به این درآمد می رسد که قیمت هر بلیط برابر با \(70-15\) یا بعبارتی برابر با \($55\) باشد.
   
   
2. تعداد بلیطهای فروخته شده در این وضعیت برابر با \(151,250 \div 55 = 2,750\) بلیط خواهد بود.
   
   
3. فرض گرفته می شود که کاهش قیمت بلیط مطابق آنچه در نظرسنجی پیش بینی شده است منجر به افزایش فروش آن شود.