یک مجموعه از محیط های فنس کشی شده، مشابه آنچه در تصویر زیر می بینید، برای یک مزرعه برنامه ریزی شده است. در مجموع \(900 \text{ m}\) فنس موجود است. چه اندازه گیری هایی، مساحت کلی این محفظه را به ماکزیمم اندازۀ ممکنش می رساند؟

پاسخ

عبارتی برای مجموع فنس ها بنویسید:
$$
900=6x+9y\\
y=100-\frac{2}{3}x
$$
تابعی برای مساحت کل محفظه بنویسید:
$$
A=2x(3y)\\
A=2x \biggl( 3(100-\frac{2}{3}x) \biggr)\\
A=2x(300-2x)\\
A=600x-4x^2\\
A=-4x^2+600x
$$
از روش کامل کردن مربع برای یافتن رأس تابع و ماکزیمم مساحت ممکن استفاده کنید:
$$
A=-4x^2+600x\\
A=-4(x^2-150x)\\
A=-4(x^2-150x+5625-5625)\\
A=-4\biggl( (x^2-150x+5625)-5625 \biggr)\\
A=-4\biggl( (x-75)^2-5625 \biggr)\\
A=-4(x-75)^2+22,500
$$
بنابراین، \(x=75\) است و ماکزیمم مساحت ممکن برابر با \(22,500 \text{ m}^2\) می باشد. \(x\) بدست آمده را در \(y=100-\frac{2}{3}x\) جایگزین می کنیم تا \(y\) را بدست آوریم.
$$
y=100-\frac{2}{3}(\color{red}{75})\\
y=50
$$
اندازه هایی که منجر می شوند مساحت کل به ماکزیمم اندازۀ ممکنش برسند برابر با \(x=75\) و \(y=50\) می باشند.