تمرین 19: روش کامل کردن مربع، استفادۀ کاربردی

مدیر یک دوچرخه فروشی در حال قیمت گذاری یک مدل جدید است. بر اساس تاریخچۀ سوابق فروش، او پیش بینی می کند که اگر قیمت را $$360$ تعیین کند، می تواند انتظار داشته باشد در فصل جاری $280$ دوچرخه بفروشد. او همچنین پیش بینی می کند به ازاء هر $$10$ افزایش قیمت تعداد پنج دوچرخه کمتر بفروشد.

تابعی بنویسید که این وضعیت را مدلسازی کند.
سقف درآمدی که این مدیر می تواند انتظار داشته باشد چقدر است؟ چه قیمتی او را به این سقف درآمدی می رساند؟
هر نوع پیش فرضی را که در استفاده از این مدل در نظر گرفته اید توضیح دهید.

پاسخ

اجازه دهید $n$ نشان دهندۀ تعداد افزایش در قیمتها باشد. در این صورت قیمت جدید برابر با $$360$ بعلاوۀ تعداد افزایش قیمتها ضربدر $$10$ یا بعبارتی برابر با $360+10n$ خواهد بود.
تعداد دوچرخه های فروخته شدۀ جدید برابر با $280$ منهای تعداد افزایش قیمتها ضربدر $5$ یا بعبارتی برابر با $280-5n$ خواهد بود.
اجازه دهید $R$ نشان دهندۀ درآمد مورد انتظار در واحد دلار باشد.
$$
\text{Revenue} = (\text{price})(\text{number of sessions})
$$

$\text{Revenue}$: درآمد
$\text{price}$: قیمت
$\text{number of sessions}$: تعداد دوچرخه های فروخته شده

$$
R=(360+10n)(280-5n)\\
R=100,800+1,000n-50n^2\\
R=-50n^2+1,000n+100,800
$$
با روش کامل کردن مربع رأس را می یابیم.
این تابع در شکل رأس:
$$
R=-50(n-10)^2+105,800
$$
سقف درآمدی که این مدیر می تواند انتظار داشته باشد برابر با $$105,800$ می باشد و زمانی به این سقف قیمت می رسد که قیمت برابر با $360+10(10)$ یا $$460$ باشد.
پیش فرض ما در استفاده از این تابع اینست که پیش بینی های مدیر در مورد تأثیر قیمت گذاری بر روی تعداد فروش، درست از آب در بیایند.