نویسنده : امیر انصاری

1. به ازاء چه مقادیری از \(k\)، این معادله یک ریشۀ حقیقی دارد؟
   
2. به ازاء چه مقادیری از \(k\)، این معادله دو ریشۀ مجزایِ حقیقی دارد؟
   
3. به ازاء چه مقادیری از \(k\)، این معادله ریشۀ حقیقی ندارد؟
   

پاسخ

1. هنگامی که رأس سهمیِ تابع متناظر این معادله بر روی محور \(x\) باشد، این معادله دارای یک ریشۀ حقیقی خواهد بود. یعنی: \(y=a(x-p)^2+q,q=0\)
   برای بدست آوردن عبارتی برای \(q\) از روش کامل کردن مربع استفاده کنید تا تابع مربوطه را در شکل رأس بازنویسی کنید:
   $$
   y=x^2+6x+k\\
   y=(x^2+6x)+k\\
   y=(x^2+6x+9-9)+k\\
   y=(x^2+6x+9)-9+k\\
   y=(x+3)^2-9+k
   $$
   بنابراین \(q=-9+k\) خواهد بود. اجازه دهید \(q=0\) باشد و آن را برای بدست آوردن \(k\) حل کنید.
   $$
   0=-9+k\\
   k=9
   $$
   در نتیجه به ازاء \(k=9\) این معادله دارای یک ریشۀ حقیقی خواهد بود.
   
   
2. از آنجا که \(a \gt 0\) می باشد، این معادله در صورتی دارای دو ریشۀ حقیقی می باشد که رأس سهمیِ تابع متناظر آن زیر محور \(x\) باشد. یعنی \(q \lt 0\) باشد. با استفاده از عبارت بدست آمدۀ \(q=-9+k\) در بخش a داریم:
   $$
   q \lt 0\\
   -9+k \lt 0\\
   k \lt 9
   $$
   در نتیجه به ازاء \(k \lt 9\)، این معادله دارای دو ریشۀ حقیقی خواهد بود.
   
   
3. این معادله در صورتی ریشۀ حقیقی نخواهد داشت که رأس سهمی تابع متناظر آن بالای محور \(x\) باشد. یعنی \(q \gt 0\) باشد.
   $$
   q \gt 0\\
   -9+k \gt 0\\
   k \gt 9
   $$
   در نتیجه به ازاء \(k \gt 9\) این معادله بدون ریشۀ حقیقی خواهد بود.