یک دایرۀ بزرگ دارای مرکز \(C\) و قطر \(AB\) می باشد. یک دایرۀ کوچک دارای مرکز \(D\) و قطر \(BC\) می باشد. وتر (Chord) \(AE\) بر روی دایرۀ کوچکتر مُماس (tangent) است. اگر \(AB = 18 \text{ cm}\)، طول دقیق \(AE\) چقدر است؟

پاسخ

از آنجا که \(AB=18 \text{ cm}\)، پس \(AC=9 \text{ cm}\) و \(CD=4.5 \text{ cm}\).
مثلث قائم الزاویۀ \(\triangle{ADF}\) را در نظر بگیرید، در این مثلث \(DF=4.5 \text{ cm}\) و \(AD=13.5 \text{ cm}\).


از قضیۀ فیثاغورث استفاده کنید.
$$
(AF)^2 = (AD)^2 - (DF)^2\\
(AF)^2 = \color{red}{13.5}^2 - \color{red}{4.5}^2\\
(AF)^2 = 162\\
AF = \sqrt{162}\\
AF = 9 \sqrt{2}
$$
حالا مثلث های مشابه \(\triangle{ADF}\) و \(\triangle{ABE}\) را در نظر بگیرید. دلیل تشابه این دو مثلث اینست که دو زاویۀ آنها با یکدیگر همنهشت می باشند و بنا به روش \(AA\) در هندسه با یکدیگر متشابه می باشند. اگر در مورد تشابه مثلث ها نیاز به یادآوری دارید لینک زیر را مرور کنید:

• اثبات متشابه بودن مثلث ها

از رو تشابه این مثلث ها و نسبت های برقرار بین مثلث های متشابه، طول \(AE\) را که خواستۀ مسأله می باشد، محاسبه می کنیم.
$$
\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AD}\\
\frac{AE}{9 \sqrt{2}} = \frac{18}{13.5}\\
AE = \frac{18}{13.5} (9 \sqrt{2})\\
AE=12 \sqrt{2}
$$
طول دقیق \(AE\) برابر با \(12 \sqrt{2} \text{ cm}\) می باشد.