محیط مربع \(ABCD\) برابر با \(4 \text{ m}\) می باشد. \(\triangle{CDE}\) مثلثی متساوی الاضلاع (equilateral triangle) درون این مربع می باشد. \(AC\) و \(DE\) در نقطۀ \(F\) یکدیگر را قطع می کنند. طول دقیق \(AF\) چه می باشد؟

پاسخ

با توجه به داده های مسأله داریم:

• محیط مربع \(ABCD\) برابر با \(4 \text{ m}\) می باشد، بنابراین \(CD = 1 \text{ m}\)
  
• \(\triangle{CDE}\) مثلثی متساوی الاضلاع می باشد، بنابراین \(\angle{CDE} = 60^{\circ}\)
  
• \(CA\) قطر مربع می باشد، بنابراین \(\angle{DAC} = 45^{\circ}\)
  

در \(\triangle{ADF}\)، از نقطۀ \(F\) خط عمودی را بر روی \(AD\) بکشید، که \(AD\) را در نقطۀ \(G\) قطع کند. ارتفاع \(FG\) را برابر با \(x\) در نظر بگیرید. آن گاه در \(\triangle{FDG}\) خواهیم داشت: \(\angle{FDG} = 30^{\circ}\) و \(DG = 1-x\) .


$$
\tan 30^{\circ} = \frac{x}{1-x}\\
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{1-x}\\
1-x = \sqrt{3} x\\
1 = x(\sqrt{3} + 1 )\\
x = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\\
x = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}\\
x = \frac{\sqrt{3} - 1 }{2}
$$
آن گاه در \(\triangle{AFG}\) داریم: \(FG=GA=x\)
$$
AF^2 = x^2 + x^2\\
AF^2 = \bigl( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \bigr)^2 + \bigl( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \bigr)^2\\
AF^2 = 2 \bigl( \frac{4-2\sqrt{3}}{4} \bigr)\\
AF^2 = 2 - \sqrt{3}\\
AF= \sqrt{2-\sqrt{3}}
$$
طول دقیق \(AF\) برابر با \(\sqrt{2-\sqrt{3}} \text{ m}\) می باشد.