تمرین 22: معادلات گویا، توسعه

اگر $\frac{1}{x}$ میانگینِ $\frac{1}{a}$ و $\frac{1}{b}$ باشد، آن گاه عدد $x$ میانگین همساز (harmonic mean) اعداد $a$ و $b$ می باشد.

معادله ای گویا برای بیانیۀ فوق بنویسید. آن را برای بدست آوردن $x$ حل کنید.
دو عدد را بیابید که تفاضل آنها $8$ باشد و میانگین همساز آنها $6$ باشد.

آیا می دانستید؟
مسافتی که یک فنر کش می آید با فرمول $d=km$ نشان داده می شود، که در این فرمول $d$ مسافت در واحد سانتیمتر، $m$ جرم در واحد گرم، و $k$ مقداری ثابت می باشد.
هنگامی که دو فنر با ثابت های $k$ و $j$ به یکدیگر متصل شوند، مقدار ثابت فنر جدید، $c$، را می توان به کمک فرمول $\frac{1}{c} = \frac{1}{k} + \frac{1}{j}$ بدست آورد. مقدار ثابتِ فنر جدید، میانگین همساز مقادیر ثابت های آن دو فنر اولیه می باشد.

پاسخ

$$
\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{1}{x}\\
x = \frac{2ab}{a+b}
$$
$$
a-b = 8\\
b=a-8\\
\text{ }\\[2ex]
6 = \frac{2a(a+8)}{a+a+8}\\
a^2 + 2a - 24 = 0\\
(a+6)(a-4)=0\\
a=-6 \text{ or } a = 4
$$
این دو عدد $-6$ و $2$ یا $4$ و $12$ می باشند.