با مکعب هایی به ضلع \(1\) واحد، حجم مقابل را ساخته ایم. اگر تمام سطح های این حجم را رنگ کنیم، چند مکعب رنگ نمی شوند؟


چند مکعب رنگ می شود؟


چند مکعب \(2\) وجهشان رنگ می شود؟
چند مکعب \(3\) وجهشان رنگ شده است؟

پاسخ

اگر تمام سطح های این حجم را رنگ کنیم، چند مکعب رنگ نمی شوند؟ چند مکعب رنگ می شود؟
برای اینکه بتوانیم این سوال را به شکلی نظام مند پاسخ دهیم، ابتدا تعداد کل مکعب ها را به دست می آوریم. سپس تعداد مکعب های رنگ شده را محاسبه می کنیم. در پایان با تفریق این دو، تعداد مکعب هایی را که رنگ نشده اند، محاسبه می کنیم:
تعداد کل مکعب ها (حجم این شکل):
$$
V = (4 \times 4) \times 4 = 64
$$
تعداد مکعب های رنگ شده:
برای شمارش تعداد مکعب های رنگ شده، باید خیلی نظام مند و با دقت عمل کنیم، چون مکعب های تشکیل دهندۀ هر وجه، با بخشی از مکعب های تشکیل دهندۀ سایر وجه ها مشترک هستند و عدم دقت کافی ممکن است که منجر به شمارش تکراری شود. برای شمارش این مکعب ها از نامگذاری های موجود در شکل زیر استفاده می کنیم.
در شکل بالا، سه وجه نمایان مکعب مستطیل اصلی و بزرگ را با \(A\) و \(B\) و \(C\) نامگذاری کردیم. هر کدام از وجه هایی که در تصویر می بینید، یک وجه رو به رو دارند که آنها را به ترتیب با \(A'\) و \(B'\) و \(C'\) نامگذاری می کنیم.
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(A\): \(16\) مکعب
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(A'\): \(16\) مکعب
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(B\): \(8\) مکعب (نکته: \(8\) مکعب دیگرِ رنگ شدۀ این وجه، قبلاً در وجه های \(A\) و \(A'\) شمارش شده اند و فقط موارد غیر تکراری را شمارش کرده ایم.)
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(B'\): \(8\) مکعب
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(C\): \(4\) مکعب (بقیۀ مکعب ها، قبلاً در وجه های \(A, A',B,B'\)شمارش شده اند)
تعداد مکعب های رنگ شده در وجه \(C'\): \(4\) مکعب
مجموع تعداد مکعب های رنگ شدۀ غیر تکراری: \(16+16+8+8+4+4=56\)

تعداد مکعب های رنگ نشده: \(64 - 56 = 8\)
نکته: در واقع این \(8\) مکعبی که رنگ نمی شوند، در مرکز این شکل قرار گرفته اند و هیچ بخشی از آنها با وجه های بیرونی در ارتباط نمی باشد.

چند مکعب \(2\) وجهشان رنگ می شود؟
برای پاسخ به این سؤال نیز، به طور نظام مند شمارش را در هر وجه جداگانه انجام می دهیم و دقت می کنیم که موارد تکراری را نشماریم.
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(A\) قرار دارند: \(8\) مکعب
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(A'\) قرار دارند: \(8\) مکعب
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(B\) قرار دارند: \(4\) مکعب
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(B'\) قرار دارند: \(4\) مکعب
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(C\) قرار دارند: \(0\)
تعداد مکعب هایی که دو وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(C'\) قرار دارند: \(0\)
تعداد کل مکعب هایی که دو وجهشان رنگ شده است: \(8+8+4+4=24\)

چند مکعب \(3\) وجهشان رنگ شده است؟
برای پاسخ به این سؤال نیز، به طور نظام مند شمارش را در هر وجه جداگانه انجام می دهیم و دقت می کنیم که موارد تکراری را نشماریم.
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(A\) قرار دارند: \(4\) مکعب
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(A'\) قرار دارند: \(4\) مکعب
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(B\) قرار دارند: \(0\)
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(B'\) قرار دارند: \(0\)
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(C\) قرار دارند: \(0\)
تعداد مکعب هایی که سه وجهشان رنگ می شوند و در وجه \(C'\) قرار دارند: \(0\)
تعداد کل مکعب هایی که سه وجهشان رنگ شده است: \(4+4=8\)