نویسنده : امیر انصاری

1. مختصات نقطۀ \(A\) را تعیین کنید.
   
2. معادلۀ خط قائم بر منحنی \(y=2x^2 - 4x +6\) در نقطۀ \(A\)، چیست؟
   
3. این خط قائم مجدداً این منحنی را در نقطۀ \(B\) قطع می کند، و وتر \(AB\) را می سازد. طول این وتر (chord) را تعیین کنید.
   

پاسخ

1. در اینجا تابع یک خط مماس و تابع یک منحنی را داریم. دستگاه معادلاتی شامل این دو تابع را حل می کنیم تا مختصات برخورد آنها که در واقع همان مختصات \(A\) می باشد، برسیم.
   $$
   y=4x-2\\
   y=2x^2 - 4x +6\\[2ex]
   4x-2 = 2x^2 -4x + 6\\
   2x^2 - 4x + 6 -4x + 2 =0\\
   2x^2 -8x + 8 = 0\\
   x=2\\[2ex]
   y=4x-2\\
   y=4(\color{red}{2})-2\\
   y=6\\[2ex]
   \to (2,6)
   $$
   مختصات نقطۀ \(A\) برابر با \((2,6)\) می باشد.
   
   
2. برای بدست آوردن معادلۀ خط قائم بر این منحنی، از ویژگی خطوط متعامد استفاده می کنیم. در اینجا خط مماس و خط قائم بر یکدیگر عمودند. از روی معادلۀ خط مماس، \(y=4x-2\)، که در شکل \(y=mx+b\) می باشد، متوجه می شویم که شیب این خط مماس، \(m\)، برابر با \(4\) می باشد. از طرفی می دانیم که شیب دو خط عمود بر هم معکوس منفی یکدیگر می باشد، در نتیجه شیب خط قائم برابر با \(-\frac{1}{4}\) خواهد بود. با استفاده از شیب و همچنین با داشتن مختصات نقطۀ \(A\) که نقطۀ تماس این دو خط متعامد می باشد، معادلۀ خط قائم را بدست می آوریم.
   $$
   y=mx+b\\
   m=-\frac{1}{4}\\
   y=-\frac{1}{4}x+b\\
   A(2,6)\\
   \color{red}{6} = -\frac{1}{4}(\color{red}{2}) + b\\
   6=-\frac{1}{2}+b\\
   6+\frac{1}{2} = b\\
   \frac{13}{2} = b\\
   \to y=-\frac{1}{4}x +\frac{13}{2}
   $$
   
3. برای بدست آوردن طول وتر \(AB\) کافیست مختصات دو نقطۀ \(A\) و \(B\) را داشته باشیم و سپس به کمک فرمول مسافت (Distance formula)، یعنی \(\text{Distance}=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)، می توانیم طول \(AB\) را بدست آوریم. مختصات نقطۀ \(A(2,6)\) هم اکنون بر ما معلوم است. اما در مورد نقطۀ \(B\) لازم است که دستگاه معادلاتی شامل معادلۀ خط قائم و معادلۀ خط منحنی را حل کنیم تا مختصات نقطۀ \(B\) را نیز بدست آوریم.
   $$
   y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{2}\\
   y=2x^2 -4x + 6\\
   2x^2 -4x +6= -\frac{1}{4}x + \frac{13}{2}\\
   2x^2 -4x +6 + \frac{1}{4}x - \frac{13}{2} = 0\\
   4(2x^2 -4x +6 + \frac{1}{4}x - \frac{13}{2}) = 4(0)\\
   8x^2 -16x +24 + x - 26 = 0\\
   8x^2 -15x - 2 = 0\\
   x = 0.125 \text{ or } x = 2\\[2ex]
   y=-\frac{1}{4}x + \frac{13}{2}\\
   y=-\frac{1}{4}(\color{red}{0.125}) + \frac{13}{2}\\
   y \approx 6.53\\
   \to B(0.125,6.53) , A(2,6)
   $$
   هم اکنون از فرمول مسافت برای بدست آوردن طول \(AB\) استفاده می کنیم.
   $$
   \text{Distance}=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\
   \overline{AB}=\sqrt{(0.125 - 2)^2 + (6.53 - 6)^2}\\
   \overline{AB} \approx 2.19
   $$
   طول وتر \(AB\) تقریباً برابر با \(2.19\) واحد می باشد.