وضعیت اقتصادیِ ماهیانۀ یک شرکت تولیدی با معادلات زیر مشخص شده است.





$$
R=5000x-10x^2\\
R_M=5000-20x\\
C=300x+\frac{1}{12}x^2\\
C_M=300+\frac{1}{4}x^2
$$
در این معادلات، \(x\) مقدار فروخته شده را نشان می دهد، \(R\) نشان دهندۀ مجموع درآمد این شرکت، \(R_M\) نشان دهندۀ درآمد نهایی (marginal revenue)، \(C\) نشان دهندۀ مجموع هزینه ها، و \(C_M\) نشان دهندۀ هزینۀ نهایی (marginal cost) می باشد. تمامی این هزینه ها در واحد دلار می باشند.

1. ماکزیمم سود زمانی رخ می دهد که درآمد نهایی با هزینۀ نهایی برابر باشد. برای این که به ماکزیمم سود برسیم، مقدار فروش باید چقدر باشد؟
   
2. سود برابر با مجموع درآمدها منهای مجموع هزینه ها می باشد. ماکزیمم سود ماهیانۀ این شرکت چقدر می باشد؟
   

پاسخ

1. $$
   R_M=C_M\\
   5000-20x=300x+\frac{1}{4}x^2\\
   0.25x^2 +20x-4700=0\\
   x \approx 102.83 \text{ or } x \approx -182.83
   $$
   با توجه به این که مقدار فروش نمی تواند عددی منفی باشد، پاسخ \(102.83\) می باشد. در نتیجه برای این که به ماکزیمم سود ماهیانۀ ممکن برسیم، مقدار فروش باید \(103\) واحد در ماه باشد.
   
   
2. اگر سود را با \(P\) نشان دهیم، خواهیم داشت:
   $$
   P = R - C\\
   P = 5000x - 10x^2 - (300x + \frac{1}{12}x^2)\\
   P = 5000(\color{red}{103}) - 10(\color{red}{103})^2 - (300(\color{red}{103}) + \frac{1}{12}(\color{red}{103})^2)\\
   P \approx 377,125.9
   $$
   ماکزیمم سود ماهیانۀ این شرکت \(377,126\) دلار می باشد.