کیت (Kate) یک مهندس طراحی صنعتی می باشد. او در حال ایجاد برنامه ای برای بریدن پارچه جهت ساخت یک سایه بان بادبانی (shade sail) می باشد. شکل این سایه بان بادبانی با سه سهمی متقاطع تعیین می شود. معادلۀ این سهمی ها به شرح زیر می باشند:





$$
y=x^2 + 8x + 16\\
y= x^2 -8x +16\\
y=-\frac{x^2}{8} +2
$$
در این معادله ها مقدار \(x\) و \(y\) در واحد متر می باشند.

1. از یک روش جبری برای تعیین مختصات سه رأس این سایبان استفاده کنید.
   
2. مساحت پارچۀ مورد نیاز برای ساخت این سایه بان را تخمین بزنید.
   

پاسخ

1. اولین نکته اینست که رأس های سایبان را با رأس های توابع درجه دوم اشتباه نگیرید. در واقع در این مسئله قرار است محل تقاطع این سه سهمی را پیدا کنیم. برای این منظور ابتدا دستگاه معادلاتی متشکل از دو معادلۀ اول را حل می کنیم. سپس دستگاه معادلاتی متشکل از معادلۀ اول و سوم را حل می کنیم. و در پایان دستگاه معادلاتی متشکل از معادلات دوم و سوم را حل می کنیم.
   حل کردن دستگاه معادلات شامل معادلۀ اول و دوم برای یافتن نقاط تقاطع این دو سهمی:
   $$
   y=x^2 + 8x + 16\\
   y = x^2 - 8x + 16\\[2ex]
   x^2 + 8x +16 = x^2 - 8x + 16\\
   x^2 + 8x + 16 -x^2 +8x -16=0\\
   16x = 0\\
   x = 0\\[2ex]
   y=x^2 + 8x +16\\
   y=(\color{red}{0})^2 + 8(\color{red}{0}) + 16\\
   y=16\\[2ex]
   \to (0,16)
   $$
   حل کردن دستگاه معادلات شامل معادلۀ اول و سوم برای یافتن نقاط تقاطع این دو سهمی:
   $$
   y=x^2 + 8x +16\\
   y=-\frac{x^2}{8} + 2\\[2ex]
   x^2 +8x + 16 = -\frac{x^2}{8}+2\\
   x^2 + 8x + 16 + \frac{x^2}{8} - 2 =0\\
   8(x^2 + 8x + 16 + \frac{x^2}{8} - 2) =8(0)\\
   8x^2 + 64x + 128 + x^2 - 16 =0\\
   9x^2 + 64x + 112 = 0\\
   x = -3.11 \text{ or } x = -4\\[2ex]
   y=x^2 + 8x + 16\\
   y = (\color{red}{-3.11})^2 + 8(\color{red}{-3.11}) + 16\\
   y = 0.792\\[2ex]
   y=x^2 + 8x + 16\\
   y = (\color{red}{-4})^2 + 8(\color{red}{-4}) + 16\\
   y = 0\\[2ex]
   \to (-3.11,0.792) , (-4,0)
   $$
   حل کردن دستگاه معادلات شامل معادلۀ دوم و سوم برای یافتن نقاط تقاطع این دو سهمی:
   $$
   y=x^2 - 8x + 16\\
   y = -\frac{x^2}{8} + 2\\[2ex]
   x^2 -8x +16 = -\frac{x^2}{8} + 2\\
   x^2 -8x +16 +\frac{x^2}{8} - 2 =0\\
   8(x^2 -8x +16 +\frac{x^2}{8} - 2) =8(0)\\
   8x^2 -64x +128 +x^2 -16 = 0\\
   9x^2 -64x + 112 = 0\\
   x=4 \text{ or } x= 3.11 \\[2ex]
   y=x^2 -8x +16\\
   y=(\color{red}{4})^2 -8(\color{red}{4}) +16\\
   y = 0\\[2ex]
   y=x^2 -8x +16\\
   y=(\color{red}{3.11})^2 -8(\color{red}{3.11}) +16\\
   y = 0.792\\[2ex]
   \to (4,0), (3.11,0.792)
   $$
   از روی پاسخ دستگاه ها می توانیم ببینیم که ما به پنج تقاطع رسیده ایم. اما واقعیت اینست که در این مسئله از ما مختصات سه رأس تشکیل دهندۀ این سایبان مثلثی شکل را می خواهد. به ناچار از یک نمودار جهت مشخص ساختن سه رأس تشکیل دهندۀ این مثلث استفاده می کنیم.
   
   
   از روی نمودار می توانیم بدانیم که مختصات سه رأس این سایبان عبارت از \((0,16)\)، \((-3.11,0.79)\) و \((3.11,0.79)\) می باشند.
   
   
2. برای تخمین مساحت این سایبان، آن را مثلثی با ارتفاع \(16\) متر و طول قاعدۀ \(6\) متر فرض می کنیم. طبق فرمول مساحت این مثلث را بدست می آوریم:
   $$
   A = \frac{1}{2} \times 6 \times 15\\
   A = 45
   $$
   به طور تقریبی بین \(45\) تا \(50\) متر مربع پارچه برای ساخت این سایبان نیاز داریم.