خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
تمرین 23: حل کردن دستگاه های معادلات با روش جبری، ایجاد ارتباطات
رأس یک سهمی در \((-3,-1)\) قرار دارد و از نقطۀ \((-2,1)\) می گذرد. رأس سهمی دیگری در \((-1,5)\) قرار دارد و عرض از مبدأ آن \(4\) می باشد. مختصات تقریبی نقاط تقاطع این دو سهمی چه می باشند؟
در این جا دو سهمی داریم که در هر کدام از آنها مختصات رأس (vertex) و مختصات یک نقطۀ دیگر معلوم است. همین اطلاعات برای بدست آوردن معادلۀ آن ها کفایت می کند.
بدست آوردن معادلۀ سهمی اول:
$$
\text{vertex: } (-3,-1)\\
y=a(x-p)^2 + q\\
y=a(x-(\color{red}{-3}))^2 +(\color{red}{-1})\\
y=a(x+3)^2 -1\\
\text{(x,y): } (-2,1)\\
\color{red}{1}=a(\color{red}{-2}+3)^2 -1\\
1=a -1\\
2=a\\
\to y= 2(x+3)^2 -1
$$
بدست آوردن معادلۀ سهمی دوم:
$$
\text{vertex: } (-1,5)\\
y=a(x-p)^2+q\\
y=a(x-(\color{red}{-1}))^2 +\color{red}{5}\\
y=a(x+1)^2 +5\\
\text{(x,y): } (0,4)\\
\color{red}{4}=a(\color{red}{0}+1)^2 +5\\
4=a +5\\
4-5=a\\
-1=a\\
\to y=-(x+1)^2 +5
$$
هم اکنون دو معادله درجه دوم داریم. با آن ها یک دستگاه معادلات تشکیل می دهیم و دستگاه را حل می کنیم.
$$
y=2(x+3)^2-1\\
y=-(x+1)^2+5\\[2ex]
2(x+3)^2-1 = -(x+1)^2+5\\
2(x^2+6x+9)-1 = -(x^2+2x+1)+5\\
2x^2 +12x +18 -1 = -x^2 -2x -1 +5\\
2x^2 + 12x +17 = -x^2 -2x +4\\
2x^2 + 12x +17 +x^2 +2x -4 = 0\\
3x^2 +14x +13 = 0\\
x \approx -1.28 \text{ or } x \approx -3.39\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-1.28}+3)^2 -1\\
y=2(-1.28+3)^2 -1\\
y = 2(1.72)^2 - 1\\
y = 2(2.96) - 1\\
y = 4.92\\
\to (-1.28,4.92)\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-3.39}+3)^2 -1\\
y = -0.70\\
\to (-3.39,-0.70)
$$
پاسخ های این دستگاه \((-1.28,4.92)\) و \((-3.39,-0.70)\) می باشند.
پاسخ
در این جا دو سهمی داریم که در هر کدام از آنها مختصات رأس (vertex) و مختصات یک نقطۀ دیگر معلوم است. همین اطلاعات برای بدست آوردن معادلۀ آن ها کفایت می کند.
بدست آوردن معادلۀ سهمی اول:
$$
\text{vertex: } (-3,-1)\\
y=a(x-p)^2 + q\\
y=a(x-(\color{red}{-3}))^2 +(\color{red}{-1})\\
y=a(x+3)^2 -1\\
\text{(x,y): } (-2,1)\\
\color{red}{1}=a(\color{red}{-2}+3)^2 -1\\
1=a -1\\
2=a\\
\to y= 2(x+3)^2 -1
$$
بدست آوردن معادلۀ سهمی دوم:
$$
\text{vertex: } (-1,5)\\
y=a(x-p)^2+q\\
y=a(x-(\color{red}{-1}))^2 +\color{red}{5}\\
y=a(x+1)^2 +5\\
\text{(x,y): } (0,4)\\
\color{red}{4}=a(\color{red}{0}+1)^2 +5\\
4=a +5\\
4-5=a\\
-1=a\\
\to y=-(x+1)^2 +5
$$
هم اکنون دو معادله درجه دوم داریم. با آن ها یک دستگاه معادلات تشکیل می دهیم و دستگاه را حل می کنیم.
$$
y=2(x+3)^2-1\\
y=-(x+1)^2+5\\[2ex]
2(x+3)^2-1 = -(x+1)^2+5\\
2(x^2+6x+9)-1 = -(x^2+2x+1)+5\\
2x^2 +12x +18 -1 = -x^2 -2x -1 +5\\
2x^2 + 12x +17 = -x^2 -2x +4\\
2x^2 + 12x +17 +x^2 +2x -4 = 0\\
3x^2 +14x +13 = 0\\
x \approx -1.28 \text{ or } x \approx -3.39\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-1.28}+3)^2 -1\\
y=2(-1.28+3)^2 -1\\
y = 2(1.72)^2 - 1\\
y = 2(2.96) - 1\\
y = 4.92\\
\to (-1.28,4.92)\\[2ex]
y=2(x+3)^2 -1\\
y=2(\color{red}{-3.39}+3)^2 -1\\
y = -0.70\\
\to (-3.39,-0.70)
$$
پاسخ های این دستگاه \((-1.28,4.92)\) و \((-3.39,-0.70)\) می باشند.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: