طول یکی از ساق های یک مثلث قائم الزاویه \(2\) سانتی متر بزرگتر از ساق دیگر آن می باشد. طول ساق کوچکتر باید چقدر باشد تا اطمینان حاصل شود که مساحت این مثلث بزرگتر یا مساوی با \(4\) سانتی متر مربع باشد؟

پاسخ

فرض کنیم \(x\) نشان دهندۀ طول ساق کوچکتر در واحد سانتی متر باشد. در آن صورت \(x+2\) نشان دهندۀ طول ساق بزرگتر خواهد بود و با توجه به فرمول مساحت مثلث خواهیم داشت:
$$
A = \frac{bh}{2}\\
A = \frac{x(x+2)}{2}\\
A = \frac{x^2 + 2x}{2}
$$
برای اینکه اطمینان حاصل شود مساحت این مثلث بزرگتر یا مساوی \(4\) سانتی متر مربع گردد، نامساوی زیر را خواهیم داشت:
$$
\frac{x^2 + 2x}{2} \ge 4\\
2( \frac{x^2 + 2x}{2}) \ge 2(4)\\
x^2 + 2x \ge 8\\
x^2 + 2x -8 \ge 0\\
(x+4)(x-2) \ge 0
$$
این نامساوی را به دلخواه با یکی از روش های گفته شده در این فصل حل می کنیم، به پاسخ زیر می رسیم:
$$
\{x | x \le -4 \text{ or } x \ge 2, x \in R \}
$$
با توجه به این که منطقاً طول ضلع مثلث نمی تواند مقداری منفی داشته باشد، پاسخ این مسئله \(x \ge 2\) می باشد. به عبارتی طول ساق کوچکتر این مثلث باید بزرگتر یا مساوی با \(2\) سانتی متر باشد تا مساحت این مثلث بزرگتر یا مساوی با \(4\) سانتی متر مربع گردد.