از دانشتان در ارتباط با نمودارهای توابع درجه دوم و مبین ها (discriminant) برای بررسی پاسخ های نامساوی درجه دوم \(ax^2 + bx + c \ge 0\) استفاده کنید.

1. تمامی حالت هایی که تمامی اعداد حقیقی این نامساوی را برآورده می سازند، توصیف کنید.
   
2. تمامی حالت هایی که فقط یک عدد حقیقی این نامساوی را برآورده می سازد، توصیف کنید.
   
3. تمامی حالت هایی که بی نهایت عدد حقیقی این نامساوی را برآورده می سازند، و در عین حال بی نهایت عدد حقیقی این نامساوی را برآورده نمی سازند را نیز توصیف کنید.
   

پاسخ

برای حل این مسئله شاید لازم باشد که دانش تان در مورد مبین و همچنین نمودار توابع درجه دوم را تازه سازی کنید. برای این منظور توصیه می کنم درس های زیر را دوباره مروری کنید:

• مفاهیم کلیدی فرمول حل معادلۀ درجه دوم
• مفاهیم کلیدی توابع درجه دوم در شکل استاندارد

1. \(ax^2 + bx + c \ge 0\)
   برای این که مقدار این نامساوی درجه دوم بزرگتر یا مساوی با صفر باشد، کل سهمی باید بالای محور \(x\) و یا بر روی محور \(x\) قرار داشته باشد. بنابراین باید \(a \gt 0\) باشد و معادلۀ درجه دوم متناظر این نامساوی باید حداکثر یک طول از مبدأ داشته باشد. این زمانی پیش می آید که مبین کوچکتر یا برابر با \(0\) باشد.
   بنابراین تمامی اعداد حقیقی این نامساوی را برآورده می سازند، اگر \(a \gt 0\) و \(b^2 - 4ac \le 0\)
   
   
2. اگر این سهمی رو به پایین باز شود و رأس آن بر روی محور \(x\) قرار داشته باشد، این نامساوی تنها یک پاسخ حقیقی خواهد داشت. این حالت زمانی پیش می آید که \(a \lt 0\) و \(b^2 - 4ac = 0\)
   
   
3. مشروط بر اینکه \(a \ne 0\)، و \(b^2 - 4ac \gt 0\)، آن گاه تابع درجه دوم متناظر با این نامساوی، یعنی \(ax^2 + bx + c = 0\)، دو طول از مبدأ خواهد داشت. در این حالت ها، نامساوی \(ax^2 + bx + c \ge 0\) فقط برای بخشی از دامنۀ آن برقرار خواهد بود:
   
   • هنگامی که \(a \gt 0\)، از آنجا که رأس زیر محور \(x\) قرار دارد و سهمی رو به بالا باز می شود، به ازاء مقادیر خارج از طول از مبدأها این نامساوی برقرار خواهد بود.
     
   • هنگامی که \(a \lt 0\)، از آنجا که رأس بالای محور \(x\) قرار دارد و سهمی رو به پایین باز می شود، به ازاء مقادیر بین طول از مبدأ ها این نامساوی برقرار خواهد بود.