دامنه و برد تابع زیر را بیابید.





$$
f(x) = 1 + x^2
$$

پاسخ

تعیین دامنۀ تابع

برای یافتن دامنۀ یک تابع، مقادیر زیر رادیکال و مقادیر موجود در مخرج کسرها را در نظر می گیریم. با توجه به اینکه مقادیر زیر رادیکال نباید منفی باشند و همچنین مقادیر موجود در مخرج کسرها نیز نباید صفر باشند، این دو محدودیت را در نظر گرفته و مقادیر غیرمجاز را شناسایی می کنیم تا در نهایت دامنۀ تابع مربوطه به دست آید. در اینجا یک سری قوانین دیگر هم وجود دارند که کار ما را برای بررسی دامنه راحت تر می کنند. به عنوان مثال ما می دانیم که دامنۀ تمامی چندجمله ای ها شامل تمامی اعداد حقیقی است.

در اینجا تابع ما هیچ رادیکال یا کسری ندارد و در نتیجه هیچ محدودیتی در دامنۀ آن وجود ندارد.
دامنۀ این تابع: \((-\infty,\infty)\)

تعیین برد تابع

تعیین برد تابع متفاوت از تعیین دامنه است و در بسیاری از مواقع به راحتی صورت نمی پذیرد. گاهی برای تعیین برد تابع باید تابع را تجزیه و تحلیل کرد تا با روش های منطقی توانست این کار را صورت داد. گاهی ناچاریم نمودار تابع را ترسیم کنیم و از روی نمودار، برد آن را تعیین کنیم. به هر حال یک راه و قاعدۀ سر راست و همیشگی ندارد و تابع به تابع باید متفاوت عمل کنیم.

تابع ما \(y=1+x^2\) می باشد. برای بدست آوردن دامنه این تابع نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. فعلاً بیایید ثابت \(1\) را نادیده بگیریم و فرض کنیم تابع ما \(y=x^2\) می باشد. می دانیم که \(x^2\) همواره عددی مثبت و برابر یا بزرگتر از صفر خواهد بود، زیرا مربع هر عددی همواره عددی غیرمنفی است. پس:
$$
x^2 \ge 0
$$
حالا مجددا ثابت \(1\) را وارد ماجرا می کنیم.
$$
x^2 \ge 0\\
1 + x^2 \ge 0 + 1\\
1 + x^2 \ge 1
$$
در نتیجه برد تابع ما همواره بزرگتر یا مساوی با \(1\) خواهد بود.
برد این تابع: \([1,\infty)\)