هزینه های صنعتی


یک نیروگاه برق در کنار رودخانه ای به عرض \(800\) فوت قرار گرفته است. می خواهیم کابل جدیدی را از نیروگاه به محلی \(2\) مایل آنسوتر در شهر بکشیم موقعیت این محل در سمت مقابل نیروگاه و آن سوی رودخانه می باشد. هزینۀ کابل گذاری از این سو به آنسوی رودخانه \($180\) به ازاء هر فوت می باشد و هزینه کابل گذاری در خشکی \($100\) به ازاء هر فوت می باشد.

1. فرض کنید که این کابل از نیروگاه به نقطۀ \(Q\) در سمت دیگر رودخانه می رود که فاصله اش با نقطۀ \(P\) که مستقیماً روبروی نیروگاه قرار دارد، \(x\) فوت می باشد. تابع \(C(x)\) را به نحوی بنویسید که هزینۀ کابل گذاری را به لحاظ مسافت \(x\) ارائه دهد.
   
2. جدولی از مقادیر تولید کنید که تعیین کند ارزانترین موقعیت از نقطۀ \(Q\) کمتر از \(2000\) فوت از نقطۀ \(P\) است یا بیشتر از \(2000\) فوت.
   

پاسخ

1. با توجه به اینکه هر مایل \(5280\) فوت است، \(2\) مایل برابر با \(10560\) فوت خواهد بود.
   اگر فاصلۀ بین نیروگاه و نقطۀ \(Q\) را \(d\) در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
   $$
   d = \sqrt{x^2 + 800^2}
   $$
   با توجه به اینکه مسافت \(d\) در آب قرار دارد و از قرار هر فوت \($180\) می باشد و بقیه مسافت یعنی \((10560-x)\) در خشکی قرار دارد و از قرار \($100\) به ازاء هر فوت محاسبه می گردد، خواهیم داشت:
   $$
   C(x) = 180 \times \sqrt{x^2 + 800^2} + 100 \times (10,560 - x) \\
   C(x) = 180 \times \sqrt{x^2 + 800^2} - 100x + 1,056,000
   $$
   
2. $$
   C(0) = $1,200,000\\
   C(500) \approx $1,175,812\\
   C(1000) \approx $1,186,512\\
   C(1500) \approx $1,212,000\\
   C(2000) \approx $1,243,732\\
   C(2500) \approx $1,278,479\\
   C(3000) \approx $1,314,870
   $$
   با توجه به جدول مقادیر مشخص می گردد که اگر \(x\) کمتر از \(2000\) فوت باشد، هزینه کابل گذاری ارزانتر خواهد بود. اگر به کمک فناوری نمودار این تابع را ترسیم کنیم متوجه خواهیم شد که اگر \(x \approx 534 \text{ ft}\) باشد، ارزانترین حالت ممکن را که تقریباً برابر با \($1,175,733\) است، خواهیم داشت.