قرار است آغُلی به شکل یک مثلث قائم الزاویۀ متساوی الساقین با ساق هایی به طول \(x\) فوت و وتری به طول \(h\) فوت ساخته شود. اگر هزینۀ حصارکشی برای ساق ها \($5\) به ازاء هر فوت و هزینۀ ساخت وتر \($10\) به ازاء هر فوت می باشد. مجموع هزینۀ ساخت این آغل \((C)\) را به شکل تابعی از \(h\) بنویسید.

پاسخ

آغل ما به شکل تصویر بالا خواهد بود. طبق داده های مسئله، هزینۀ ساخت این آغل به شکل زیر محاسبه می شود:
$$
C= 5x + 5x + 10h\\
C = 10x + 10h
$$
مسئله از ما خواسته است که این هزینه را به شکل تابعی از \(h\) بنویسیم، به کمک قضیۀ فیثاغورث این کار را انجام می دهیم.
$$
x^2 + x^2 = h^2\\
2x^2 = h^2\\
x^2 = \frac{h^2}{2}\\
x = \pm \sqrt{\frac{h^2}{2}}\\
x = \pm \frac{h}{\sqrt{2}}
$$
با توجه به اینکه در اینجا با طول سر و کار داریم، بخش منفی پاسخ را نادیده می گیریم. همچنین مخرج این کسر را گویا می کنیم تا عبارت زیباتر شود:
$$
x = \frac{h}{\sqrt{2}}\\
x = \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}h}{2}
$$
الان آماده ایم تا تابع مربوطه را بنویسیم:
$$
C = 10x + 10h\\
C(h) = 10 (\frac{\sqrt{2}h}{2}) + 10 h\\
C(h)=5h \sqrt{2} + 10 h\\
C(h) = 5h(\sqrt{2} + 2)
$$