1.2 ترکیب توابع؛ جابجایی و تغییر مقیاس نمودارها: مثال 2

اگر $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = x+1$، آن گاه موارد زیر را بیابید:

$$
(f \circ g)(x)
$$
$$
(g \circ f)(x)
$$
$$
(f \circ f)(x)
$$
$$
(g \circ g)(x)
$$

پاسخ

$$
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{x+1}\\
D(f \circ g) = [-1,\infty)
$$
برای اینکه ببینیم چطور دامنۀ $f \circ g$ برابر با $[-1,\infty)$ شده است، توجه داشته باشید که $g(x) = x+1$ به ازاء تمامی مقادیر حقیقی $x$ تعریف شده است. اما باید توجه داشته باشیم که دامنۀ $f$ را نیز باید لحاظ کنیم، به عبارت دیگر:
$$
x+1 \ge 0\\
x \ge -1\\
[-1, \infty)
$$
$$
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1 = \sqrt{x} + 1\\
D(g \circ f) = [0, \infty)
$$
$$
(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \sqrt{f(x)} = \sqrt{\sqrt{x}} = x^{\frac{1}{4}}\\
D(f \circ f) = [0,\infty)
$$
$$
(g \circ g)(x) = g(g(x)) = g(x) + 1 = (x+1) + 1 = x+2\\
D(g \circ g) = (-\infty, \infty)
$$

توجه داشته باشید که اگر $f(x) = x^2$ و $g(x) = \sqrt{x}$ باشند، آن گاه $(f \circ g)(x)=(\sqrt{x})^2 = x$ می باشد. با این حال دامنۀ $f \circ g$ برابر با $[0, \infty)$ خواهد بود و نه $(-\infty,\infty)$، چرا که دامنۀ $\sqrt{x}$ که برابر با $x \ge 0$ می باشد را نیز باید لحاظ کنیم.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی