در این مسأله مساحت و محیط یک مثلث متساوی الاضلاع را به شکل تابعی از طول یک ضلع آن می نویسیم. برای حل این مسأله از فرمول محیط و مساحت مثلث، قضیۀ فیثاغورث، و اثبات های هندسی مربوط به مثلث متساوی الاضلاع استفاده می کنیم.

سوال:

مساحت (area) و محیط (perimeter) یک مثلث متساوی الاضلاع (equilateral triangle) را به شکل تابعی از طول ضلع این مثلث \((x)\) بیان کنید.

پاسخ کوتاه:

محیط مثلث متساوی الاضلاع به شکل تابعی از \(x\) برابر است با: \(P(x)=3x\)
مساحت مثلث متساوی الاضلاع به شکل تابعی از \(x\) برابر است با: \(A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\)

راهنمایی در مورد مفاهیم این تمرین

مثلث متساوی الاضلاع (Equilateral Triangle)

در یک مثلث متساوی الاضلاع طول هر سه ضلع مثلث یکسان می باشند. همچنین اندازۀ زوایای داخلی آن نیز با یکدیگر برابر می باشند و همگی \(60^{\circ}\) هستند.


در طول این مسأله از یکی از اثبات های هندسی نیز استفاده شده است که در آن اثبات شده است اگر از یکی از رأس های یک مثلث قائم الزاویه خطی را بر ضلع مقابلش (ضلع پایه) عمود کنیم، دو مثلث قائم الزاویۀ همنهشت (کاملاً یکسان به لحاظ اندازۀ زوایا و اضلاع) ایجاد می شوند. در این واقع حاصل این تقسیم دو مثلث قائم الزاویۀ \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) خواهد شد.

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean theorem)

قضیۀ فیثاغورث بیان می دارد که در یک مثلث قائم الزاویه مربع اندازۀ وتر برابر با مجموع مربع دو ساق آن مثلث می باشد.


در بخشی از راه حل این مسأله از قضیۀ فیثاغورث برای بازنویسی ارتفاع مثلث به لحاظ طول یکی از اضلاع آن استفاده شده است.

راه حل 1:

تصویر زیر یک مثلث متساوی الاضلاع را به شما نشان می دهد که از مقادیر روی آن در راه حل استفاده خواهیم کرد.


ابتدا به سراغ محیط این مثلث می رویم. می دانیم که محیط هر مثلثی برابر با مجموع طول سه ضلع آن می باشد. از طرفی می دانیم که مثلث این مسأله یک مثلث متساوی الاضلاع است و طول ضلع های آن با هم برابرند. بنابراین به سادگی این مسأله حل می شود:
\(P=a+b+c = 3a\)
از آنجا که مسأله محیط این مثلث را به شکل تابعی از طول یک ضلع آن می خواهد، آن را اینگونه می نویسیم:
\(P(a)=3a\)

حالا به سراغ مساحت آن می رویم. می دانیم که مساحت یک مثلث از فرمول زیر بدست می آید، که در آن \(A\) مساحت، \(b\) طول قاعده، و \(h\) ارتفاع می باشد:
\(A=\frac{1}{2}bh\)
این مسأله از ما خواسته است که مساحت را به لحاظ طول یک ضلع از این مثلث بنویسیم. در فرمول زیر می توانیم \(b\) را با \(a\) جایگزین کنیم، چرا که هر دو هم اندازه هستند:
\(A=\frac{1}{2}ah\)
حالا به سراغ \(h\) می رویم. می خواهیم آن را به لحاظ \(a\) بازنویسی کنیم. برای این منظور نصف این مثلث متساوی الاضلاع را در نظر بگیرید (ما نصفۀ سمت راست آن را در نظر گرفته ایم). یک مثلث قائم الزاویه داریم که یک ساق آن \(h\) و یک ساق آن \(\frac{b}{2}=\frac{a}{2}\) است، وتر آن هم \(a\) است. از قضیۀ فیثاغورث استفاده می کنیم:
$$h^2+\biggl( \frac{a}{2} \biggr)^2 = a^2 \\
h^2 = a^2 - \biggl( \frac{a}{2} \biggr)^2 \\
h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \\
h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} \\
h^2 = \frac{3a^2}{4} \\
h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \\
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$
حالا که مقدار \(h\) را به لحاظ \(a\) داریم، آن را در فرمول مساحت مثلث جایگذاری می کنیم و ساده سازی می نماییم:
$$A=\frac{1}{2}ah \\
A= \frac{1}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \\
A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$
از آنجا که مسأله مساحت این مثلث را به شکل تابعی از طول یک ضلع آن می خواهد، آن را اینگونه می نویسیم:
$$A(a) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$